江西省新余市第四中学2022-2022学年高二下学期开学考试数学（理）试题考试时间：120分钟总分：150一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，那么下列不等式成立的是（）A.B.C.D.2.已知中,,,,那么（）A. B.C.或D.或3．设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第次首次测到正品，则等于（）A.B.C.D.4.不等式的解集是（）A．B．C．D．5．给出下面结论：①命题：“，使”的否定为：“，”；②设,当逐渐变大时，其正态分布曲线越来越“高瘦”；③当变量的线性相关系数时，则线性回归方程中的斜率；④“”是“”的充分不必要条件。其中正确结论的个数为（）A．4B．3C．2D．16.如图所示，正方体的棱长为1，，是线-11-\n段上的动点，过点做平面的垂线交平面于点，则点到点距离的最小值为（）A.B.C.D.7．设x、y满足约束条件的最大值为（）A．0B．C．D．38.已知，若不等式恒成立，则的最大值等于（）A．10B．9C．8D．79．设等差数列的前项和为，若，则中最大的是（）A.B.C.D.10．5名“世博会”志愿者要分配到4个场馆服务，每个场馆至少分配1名志愿者，若志愿者甲不去A场馆，则分配方法有（）种A．90B．120C．150D．18011．正三棱锥的侧棱长和底面边长相等，如果E、F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成角为（）A．B．C．D．12．已知数列满足:，，用表示不超过的最大整数，如，，则的值等于（）A．B．C．D．二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将正确答案直接填在答题卷相应的位置)13．随机变量服从正态分布，已知，则。-11-\n14.任意地向（0,1）上投掷一个点，用表示该点坐标，且_______。15．.在二项式的展开式中各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N且，则展开式中含项的系数为。16.如果有穷数列满足条件：，，……，，即，我们称其为“对称数列”，例如数列和都是“对称数列”。已知数列是项数不超过的“对称数列”，并使得依次为该数列中连续的前项。则数列的前项和可以是：①；②；③；④；⑤。其中正确结论的序号为。（请写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共计70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．(本小题满分10分)设的内角、、的对边分别为、、，且满足。（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值．18．(本小题满分12分)一个袋中有大小相同的标有的-11-\n个小球，某人做如下游戏：每次从袋中取出一球（取后放回），并记下球的标号。若取出球的标号是的倍数，则得分，否则得分。（1）求取球次至少得分的概率；（2）求取球次所得分数的分布列和期望.19．（本小题满分12分）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，，点在线段上且不与、重合。（1）当点是中点时，求证：；（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.20．(本小题满分12分)已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前项和。（1）求和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.21．（本小题满分12分）在五边形中（图一），是的垂直平分线，为垂足．，，，为的中点．沿对角线将四边形-11-\n折起，使平面平面（图二）。（1）求证：∥平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.22．（本小题满分12分）已知数列满足。（1）求数列的通项公式；（2）若求数列的前项和为；（3）令，数列的前项和为，求证：.-11-\n新余四中2022-2022学年度高二年级下学期开学考试数学试题（理科）参考答案17．【解析】（1）∵，∵∴∴∴在△中，．∴，………………5分(2)，，…………6分∴。…………8分又，∴，∴…………9分∴故周长的最大值3…………………10分另解：得1=化简得，故周长的最大值3-11-\n18．【解析】（1）设取出球的号码是3的倍数的为事件A，则，，2分取球4次至少得2分包括2分和4分两种情况，，，4分6分（2）的可能取值为，7分则；8分；9分；10分；；分布列为P11分12分19．【解析】（1）以分别为轴建立空间直角坐标系则即…………5分-11-\n（2）依题意设，设面的法向量则，令，则，面的法向量，解得…………9分为EC的中点，…………10分又，到面的距离…………12分20．【解析】：（1）在中，令，，得即解得，………1分……………2分，……………4分．．……………6分（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．，等号在时取得．此时需满足．…………………9分-11-\n②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．是随的增大而增大，时取得最小值．此时需满足．………………11分综合①、②可得的取值范围是．………………12分21．【解析】：（1）设为BC中点，连PM，DM依题意，∵P、M分别为AB、BC的中点，∴∴，∴四边形PMDE为平行四边形，∴又平面DBC，平面DBC，∴平面DBC……………5分（2）以点为原点，直线所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则、、、、、所以、、设平面的法向量为，则由，得，令，则，∴-11-\n，…………11分所求直线与平面所成角的正弦值…………12分即，。………8分（3）。，-11-\n即。………12分-11-
