河北省临漳县第一中学高二数学上学期期中试题文

河北省临漳县第一中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题文一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.实数集R，设集合P={x|x2-4x+3≤0}，Q={x|x2-4＜0}，则P∪（∁RQ）=（　　）A.B.C.D.2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（　　）A.B.C.2D.33.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.若sinB·sinC=sin2A,则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形4.△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（　　）A.B.C.D.5.在△ABC中，，A=75°，B=45°，则△ABC的外接圆面积为（　　）A.B.πC.2πD.4π6.设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（  ）A.0B.1C.2D.37.给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中正确的命题的个数是（　　）A.1B.2C.3D.48.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（　　）A.-3＜m＜0B.-3＜m＜2C.-3＜m＜4D.-1＜m＜39.不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是（　　）-13-\nA.x≥0B.x＜0或x＞2C.D.或x≥31.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是　　A.B.C.D.或2.已知双曲线=1（a＞0，b＞0），点A、F分别为其右顶点和右焦点，B1（0，b），B2（0，-b），若B1F⊥B2A，则该双曲线的离心率为（　　)A.B.C.D.3.若{an}是等差数列，首项a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　）A.46B.47C.48D.49二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）4.在△ABC中，a=，b=1，∠A=，则cosB=______．5.若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=______时，{an}的前n项和最大．6.设p:<0，q：，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是______________．7.已知椭圆C：=1，斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=，则直线l的方程为______．-13-\n三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）1.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足（b-c）2=a2-bc．（1）求角A的大小；（2）若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．2.设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．3.设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值．4.设p：实数x满足x2+2ax-3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x-8＜0，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．-13-\n1.已知双曲线C：（a＞0．b＞0）的离心率为，虚轴端点与焦点的距离为．（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．2.已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．-13-\n答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．解不等式求得集合P、Q，再根据补集与并集的定义计算即可．【解答】解：实数集R，集合P={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，Q={x|x2-4＜0}={x|-2＜x＜2}，∴∁RQ={x|x≤-2或x≥2}，∴P∪（∁RQ）={x|x≤-2或x≥1}=（-∞，-2]∪[1，+∞）．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2-8b-3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2-8b-3=0，∴解得：b=3或-（舍去）．故选D．3.【答案】C【解析】【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sinB•sinC=sin2A，利用正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题主要考查了正余弦定理的应用，运用正余弦定理来判断三角形各个角之间的关系，属于简单题.【解答】-13-\n解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴．∵，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴（b-c）2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列和三角形的面积，涉及余弦定理的应用，属基础题．由题意可得2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2-2ac．利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．平方得a2+c2=4b2-2ac．①又△ABC的面积为，且∠B=30°，由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，解得ac=6，代入①式可得a2+c2=4b2-12，由余弦定理cosB====．解得b2=4+2，又∵b为边长，∴b=1+．故选B5.【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦定理，求出外接圆的半径是解决问题的关键，属基础题．【解答】解：在中，，，，∴，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得=，解得，故的外接圆面积，故选．-13-\n6.【答案】D【解析】【分析】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断目标函数的最优解是解题的关键.解：x，y满足约束条件的可行域如图：z=x+y即y=-x+z，当直线过点A时，直线y=-x+z的截距最大，z的值最大.由解得A（3，0），所以z=x+y的最大值为3.故选D.7.【答案】C【解析】【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要条件等知识点，难度中档.根据复合命题真假判断的真值表，可判断①；根据四种命题的定义，可判断②；根据全称命题的否定，可判断③；根据充要条件的定义，可判断④.【解答】解：①若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；②命题“若a＞b，则”的否命题为“若，则”，故正确；③“，”的否定是“，”，故正确；④在中，“”⇔“a＞b”⇔“2RsinA＞2RsinB”⇔“sinA＞sinB”,故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故正确.故选C.8.【答案】A【解析】-13-\n【分析】本题考查双曲线的几何性质，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握二元二次方程表示双曲线的条件．【解答】解：根据题意，方程表示双曲线，则有（m-2）（m+3）＜0，解可得-3＜m＜2，要求方程表示双曲线的一个充分不必要条件，即要求的是{m|-3＜m＜2}的真子集；依次分析选项：A符合条件，故选A．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的包含关系判断及应用和必要条件、充分条件和充要条件的判断，利用一元二次不等式的解法得不等式的解，再利用集合的包含关系在必要条件、充分条件和充要条件的判断中的应用得结论，属于基础题.【解答】解： 解不等式2x2-5x-3≥0可得：，根据题意，该解集为选项中集合的真子集，故依次将选项代入验证可得：不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是或.故选B．10.【答案】D【解析】【分析】曲线表示椭圆，可得，解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：∵曲线表示椭圆，∴，-13-\n解得-1＜k＜1，且k≠0．故选：D．11.【答案】C【解析】【分析】根据题意，设A（a，0），F（c，0），由向量的坐标计算公式可得=（c，-b），=（a，b），进而分析可得•=ac-b2=0，结合双曲线的几何性质，可得c2-a2-ac=0，由离心率公式变形可得e2-e-1=0，解可得e的值，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是由B1F⊥B2A分析a、b、c的关系．【解答】解：根据题意，已知双曲线=1（a＞0，b＞0），点A、F分别为其右顶点和右焦点，设A（a，0），F（c，0），则=（c，-b），=（a，b），若B1F⊥B2A，则有•=ac-b2=0，又由c2=a2+b2，则有c2-a2-ac=0，变形可得：e2-e-1=0，解可得e=或（舍）故e=，故选C．12.【答案】A【解析】解：∵{an}是等差数列，并且a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0可知{an}中，a23＞0，a24＜0，∴a1+a46=a23+a24＞0故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是46，故选A首先判断出a23＞0，a24＜0，进而a1+a46=a23+a24＞0，所以可得答案．等差数列的性质灵活解题时技巧性强，根据等差数列的概念和公式，可以推导出一些重要而便于使用的变形公式．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果．13.【答案】【解析】-13-\n解：∵a=，b=1，∠A=，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＜a，B为锐角，∴cosB==．故答案为：．由已知利用正弦定理可求sinB，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】8【解析】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{an}的前8项和最大，故答案为：8．可得等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．15.【答案】（2，+∞）【解析】解：解不等式可得：0＜x＜2，因为p是q成立的充分不必要条件，所以集合{x|0＜x＜2}是集合{x|0＜x＜m}的真子集∴m＞2故答案为：（2，+∞）将条件关系转化为集合的包含关系；据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式即可求出m的范围．本题考查利用集合关系来判断条件关系．当A⊊B时，A是B的充分不必要条件是解决问题的关键，属基础题．16.【答案】y=x±1【解析】解：椭圆：=1，即：x2+3y2=3l：y=x+m，代入x2+3y2=3，整理得4x2+6mx+3m2-3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，-13-\n|AB|=•|x1-x2|=•==，．解得：m=±1．直线l：y=x±1．故答案为：y=x±1．设出直线方程y=x+m，代入x2+3y2=3，结合题设条件利用椭圆的弦长公式能求出m，得到直线方程．本题考查椭圆弦长的求法，解题时要注意弦长公式，考查计算能力以及分析问题解决问题的能力．17.【答案】解：（1）∵（b-c）2=a2-bc，可得：b2+c2-a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又∵A∈（0，π），∴A=,（2）由sinC=2sinB及正弦定理可得：c=2b，∵a=3，A=，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=3b2，∴解得：b=，c=2，∴S△ABC=bcsinA==.【解析】（1）由已知等式可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．（2）由sinC=2sinB及正弦定理可得c=2b，又a=3，A=，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解．18.【答案】解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n-3）an-1=2（n-1）．∴（2n-1）an=2．∴an=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴an=．（2）==-．-13-\n∴数列{}的前n项和=++…+=1-=．【解析】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（1）利用数列递推关系即可得出．（2）==-．利用裂项求和方法即可得出．19.【答案】解：集合A={x|x2＜9}={x|-3＜x＜3}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}={x|-4＜x＜2}；（1）集合A∩B={x|-3＜x＜2}；（2）∵A∪B={x|-4＜x＜3}，且不等式2x2+ax+b＜0的解集为（-4，3），∴2x2+ax+b=0的根是-4和3，由根与系数的关系得，解得a=2，b=-24．【解析】（1）化简集合A、B，根据交集的定义进行计算即可；（2）求出A、B的并集，再由根与系数的关系，即可求出a、b的值．本题考查了集合的化简与运算，以及根与系数的关系应用问题，是基础题目．20.【答案】解：因为p：-3a＜x＜aq：-4＜x＜2，因为p是q的必要不充分条件，所以p能推出q，q不能推出p．所以{x|-3a＜x＜a}⊊{x|-4＜x＜2}，故满足解得0＜a≤．【解析】解两个不等式，将p和q表示为x的集合，然后由p是q的必要不充分条件得两个集合之间的包含关系，结合数轴构造关于a的不等式，求解即可．本题考查了充分条件、必要条件与集合关系之间的转化，考查了解不等式组，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）由题意，得=，c2+b2=5，c2=a2+b2，解得a=1，c=，b=，∴所求双曲线C的方程为：．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由得x2-2mx-m2-2=0（判别式△=8m2+8＞0），∴x0==m，y0=x0+m-2m，∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+（2m）2=5，-13-\n∴m=±1．【解析】（1）利用双曲线的离心率以及虚轴端点与焦点的距离为，列出方程求出a，b即可求解双曲线的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），联立方程组，利用韦达定理，求出中点坐标，代入圆的方程，即可求出m的值．本题考查双曲线的简单性质，标准方程的求法，直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力．22.【答案】解：（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率e===，则b2=3．∴椭圆C的方程；（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上，∴，∴点O到直线AB的距离，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．由已知△＞0，x1+x2=-，x1x2=，由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，∴．∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．∴点O到直线AB的距离d===为定值．综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．【解析】（1）由题意可知：4a=8，e===，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得b和k的关系，利用点到直线的距离公式，即可求得点O到直线AB的距离是否为定值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．-13-