河北省临漳县第一中学高二数学上学期期中试题理

河北省临漳县第一中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.实数集R，设集合P={x|x2-4x+3≤0}，Q={x|x2-4＜0}，则P∪（∁RQ）=（　　）A.B.C.D.2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（　　）A.B.C.2D.33.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.若sinB·sinC=sin2A,则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形4.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n，则a10=（　　）A.1024B.1023C.2048D.20475.△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（　　）A.B.C.D.6.在△ABC中，，A=75°，B=45°，则△ABC的外接圆面积为（　　）A.B.πC.2πD.4π7.设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（  ）A.0B.1C.2D.38.设x，y满足约束条件，目标函数的最大值为2，则的最小值为（　　）A.B.C.D.9.给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q-13-\n均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中正确的命题的个数是（　　）A.1B.2C.3D.41.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（　　）A.-3＜m＜0B.-3＜m＜2C.-3＜m＜4D.-1＜m＜32.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是　　A.B.C.D.或3.已知双曲线=1（a＞0，b＞0），点A、F分别为其右顶点和右焦点，B1（0，b），B2（0，-b），若B1F⊥B2A，则该双曲线的离心率为（　　）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）4.在△ABC中，a=，b=1，∠A=，则cosB=______．5.若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=______时，{an}的前n项和最大．6.若命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是______．7.点P是椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1||PF2|=12，则∠F1PF2的大小______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）8.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足（b-c）2=a2-bc．（1）求角A的大小；（2）若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．-13-\n1.设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．2.设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值．3.设p：实数x满足x2+2ax-3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x-8＜0，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．4.已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；-13-\n（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．1.已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过A（a，0），B（0，-b）的直线为l，原点到直线l的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y=x+m交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数m，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．-13-\n答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．解不等式求得集合P、Q，再根据补集与并集的定义计算即可．【解答】解：实数集R，集合P={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，Q={x|x2-4＜0}={x|-2＜x＜2}，∴∁RQ={x|x≤-2或x≥2}，∴P∪（∁RQ）={x|x≤-2或x≥1}=（-∞，-2]∪[1，+∞）．故选D．2.【答案】D【解析】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2-8b-3=0，∴解得：b=3或-（舍去）．故选：D．由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2-8b-3=0，从而解得b的值．本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sinB•sinC=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题主要考查了正余弦定理的应用，运用正余弦定理来判断三角形各个角之间的关系，属于简单题.【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，-13-\n∵A∈（0，π），∴．∵，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴（b-c）2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．4.【答案】B【解析】解：∵数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n，∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+21+22+…+2n-1==2n-1．（n∈N*）．∴a10=210-1=1023．故选：B．由已知递推式，利用累加求和及等比数列的前n项和公式即可求出．正确理解递推式，熟练掌握“累加求和”方法及等比数列的前n项和公式是解题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】由题意可得2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2-2ac．利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值．本题考查等差数列和三角形的面积，涉及余弦定理的应用，属基础题．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．平方得a2+c2=4b2-2ac．①又△ABC的面积为，且∠B=30°，由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，解得ac=6，代入①式可得a2+c2=4b2-12，由余弦定理cosB====．解得b2=4+2，又∵b为边长，∴b=1+．故选B6.【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦定理，求出外接圆的半径是解决问题的关键，属基础题．【解答】-13-\n解：在中，，，，∴，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得=，解得，故的外接圆面积，故选．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断目标函数的最优解是解题的关键.解：x，y满足约束条件的可行域如图：z=x+y即y=-x+z，当直线过点A时，直线y=-x+z的截距最大，z的值最大.由解得A（3，0），所以z=x+y的最大值为3.故选D.8.【答案】C【解析】【分析】先根据条件画出可行域，设，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线，过可行域内的点（1，4）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．【解答】-13-\n解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线过直线与的交点时，目标函数取得最大，即，则；当且仅当时等号成立；故选：C．9.【答案】C【解析】【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要条件等知识点，难度中档.根据复合命题真假判断的真值表，可判断①；根据四种命题的定义，可判断②；根据全称命题的否定，可判断③；根据充要条件的定义，可判断④.【解答】解：①若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；②命题“若a＞b，则”的否命题为“若，则”，故正确；③“，”的否定是“，”，故正确；④在中，“”⇔“a＞b”⇔“2RsinA＞2RsinB”⇔“sinA＞sinB”,故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故正确.故选C.10.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握二元二次方程表示双曲线的条件．【解答】解：根据题意，方程表示双曲线，则有（m-2）（m+3）＜0，解可得-3＜m＜2，要求方程表示双曲线的一个充分不必要条件，-13-\n即要求的是{m|-3＜m＜2}的真子集；依次分析选项：A符合条件，故选A．11.【答案】D【解析】【分析】曲线表示椭圆，可得，解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：∵曲线表示椭圆，∴，解得-1＜k＜1，且k≠0．故选：D．12.【答案】C【解析】【分析】根据题意，设A（a，0），F（c，0），由向量的坐标计算公式可得=（c，-b），=（a，b），进而分析可得•=ac-b2=0，结合双曲线的几何性质，可得c2-a2-ac=0，由离心率公式变形可得e2-e-1=0，解可得e的值，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是由B1F⊥B2A分析a、b、c的关系．【解答】解：根据题意，已知双曲线=1（a＞0，b＞0），点A、F分别为其右顶点和右焦点，设A（a，0），F（c，0），则=（c，-b），=（a，b），若B1F⊥B2A，则有•=ac-b2=0，又由c2=a2+b2，则有c2-a2-ac=0，变形可得：e2-e-1=0，解可得e=或（舍）故e=，-13-\n故选C．13.【答案】【解析】解：∵a=，b=1，∠A=，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＜a，B为锐角，∴cosB==．故答案为：．由已知利用正弦定理可求sinB，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】8【解析】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{an}的前8项和最大，故答案为：8．可得等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．15.【答案】（-∞，-1]【解析】解：命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则∀t∈R，t2-2t-a≥0是真命题，∴△=4+4a≤0，解得a≤-1．∴实数a的取值范围是（-∞，-1]．故答案为：（-∞，-1]．命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则∀t∈R，t2-2t-a≥0是真命题，可得△≤0．本题考查了方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】60°【解析】解：椭圆+=1，可得2a=8，设|PF1|=m，|PF2|=n，-13-\n可得，化简可得：cos∠F1PF2=∴∠F1PF2=60°故答案为：60°．利用椭圆的定义，结合余弦定理，已知条件，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：（1）∵（b-c）2=a2-bc，可得：b2+c2-a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又∵A∈（0，π），∴A=,（2）由sinC=2sinB及正弦定理可得：c=2b，∵a=3，A=，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=3b2，∴解得：b=，c=2，∴S△ABC=bcsinA==.【解析】（1）由已知等式可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．（2）由sinC=2sinB及正弦定理可得c=2b，又a=3，A=，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解．18.【答案】解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n-3）an-1=2（n-1）．∴（2n-1）an=2．∴an=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴an=．（2）==-．∴数列{}的前n项和=++…+=1-=．【解析】-13-\n本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（1）利用数列递推关系即可得出．（2）==-．利用裂项求和方法即可得出．19.【答案】解：集合A={x|x2＜9}={x|-3＜x＜3}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}={x|-4＜x＜2}；（1）集合A∩B={x|-3＜x＜2}；（2）∵A∪B={x|-4＜x＜3}，且不等式2x2+ax+b＜0的解集为（-4，3），∴2x2+ax+b=0的根是-4和3，由根与系数的关系得，解得a=2，b=-24．【解析】（1）化简集合A、B，根据交集的定义进行计算即可；（2）求出A、B的并集，再由根与系数的关系，即可求出a、b的值．本题考查了集合的化简与运算，以及根与系数的关系应用问题，是基础题目．20.【答案】解：因为p：-3a＜x＜aq：-4＜x＜2，因为p是q的必要不充分条件，所以p能推出q，q不能推出p．所以{x|-3a＜x＜a}⊊{x|-4＜x＜2}，故满足解得0＜a≤．【解析】解两个不等式，将p和q表示为x的集合，然后由p是q的必要不充分条件得两个集合之间的包含关系，结合数轴构造关于a的不等式，求解即可．本题考查了充分条件、必要条件与集合关系之间的转化，考查了解不等式组，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率e===，则b2=3．∴椭圆C的方程；（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上，∴，∴点O到直线AB的距离，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0-13-\n．由已知△＞0，x1+x2=-，x1x2=，由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，∴．∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．∴点O到直线AB的距离d===为定值．综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．【解析】（1）由题意可知：4a=8，e===，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得b和k的关系，利用点到直线的距离公式，即可求得点O到直线AB的距离是否为定值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵，（2分）原点到直线AB：的距离，．（4分）∴．故所求双曲线方程为 ．（6分）（2）把y=x+m代入x2-3y2=3中消去y，整理得 2x2+6mx+3m2+3=0．（8分）设C（x1，y1），D（x2，y2），则，F（-2，0），因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以，（10分）可得  （x1+2）（x2+2）+y1y2=0把y1=x1+m，y1=x1+m代入，解得：（13分）解△＞0，得m2＞2，∴满足△＞0，∴（14分）【解析】（1）根据双曲线的渐近线方程及原点到直线l的距离是，即可求双曲线的标准方程；（2）以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，可知．将直线方程与双曲线方程联立，可得一元二次方程，利用韦达定理可将向量关系转化为坐标关系，从而得解．本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查双曲线的标准方程求解，考查直线与双曲线的位置关系，应注意判别式的验证．-13-