石家庄市第一中学2022—2022学年第一学期高二年级期中考试数学试第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，全集，则集合中的元素共有A．个B．个C．个D．个2．“或是假命题”是“非为真命题”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在等比数列中，已知，则A．B．C．D．4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为A． B． C． D．5．已知菱形的边长为，，则A．B．C．D．6．执行如图的程序框图，则输出的结果是A．B．C．D．7．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A．B．C．D．\n(6题图)8．已知函数满足，其图象与直线的某两个交点横坐标为分别为，且的最小值为，则A． B． C． D．9．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A． B． C． D．10．已知是双曲线的左顶点，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．与的取值有关11．设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为A． B． C． D．12．已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是\nA．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取名学生．14．若不等式对于一切实数均成立，则实数的取值范围是____．15．已知圆及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足，．则动点的轨迹的方程为．16．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．①若，则与的夹角为锐角；②对，若，则；③若实数满足，则的最大值为；④函数的图像关于点对称．三、解答题：本题共6小题，共70分．17．(本小题满分10分)已知命题：表示焦点在轴上的椭圆，命题：表示双曲线．若或为真，且为假，求的取值范围．18．（本小题满分12分）已知圆经过、两点，且圆心在直线上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若直线与圆总有公共点，求实数的取值范围．\n19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，点为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．（Ⅰ）求证：平面；【理】（Ⅱ）求二面角的余弦值．【文】（Ⅱ）求点到平面的距离．图1图2ABCDM图1ABCDM图2ABCDM图1ABCDM图2ABCDM图1ABCDM图2ABCDM图1ABCDM图220．（本小题满分12分）在中，角对应的边分别是，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积，求的值．21．（本小题满分12分）数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，证明：.22．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，双曲线方程为，直线与双曲线的交点为且．（Ⅰ）求椭圆与双曲线的方程；\n（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，交双曲线于两点，当的内切圆的面积取最大值时，求的面积．\n2022—2022学年第一学期高二年级期中考试数学试题（答案）一、选择题：1.A2.A3.C4.C5.D6.D7.B8.D9.A10.B11.D12.C二、填空题：13.14.15.16.②③④三、解答题：17.解：当正确时，，即；当正确时，，即；由题设，若和有且只有一个正确，则（1）正确不正确，∴∴；（2）正确不正确，∴∴；∴综上所述，若和有且仅有一个正确，的取值范围是或．18.解：（Ⅰ）由于的中点为，，则线段的垂直平分线方程为，而圆心是直线与直线的交点，由，解得，即圆心，又半径为，故圆的方程为．（Ⅱ）圆心到直线的距离得，解得．19.解：（Ⅰ）证明：由已知可得：，，\n由余弦定理从而，平面平面， 平面平面平面．【理】（Ⅱ）解：取的中点,连接，，由题意知平面，，分别是，的中点，，，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由（Ⅰ）知，，设平面的法向量为，则有即取，得由题易知平面的法向量为所以二面角的余弦值为． (注：此题用综合法适当给分)【文】（Ⅱ）由已知，易求．，设点到平面的距离为，又可求，，点到平面的距离为．20.解：（Ⅰ），得，即．解得或(舍去)．因为，所以．\n（Ⅱ）由，得．又，所以．由余弦定理，得，故．又由正弦定理，得．21.解：（Ⅰ）∵是和的等差中项，∴当时，，∴当时，，∴，又，则∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，．设的公差为，，，∴∴．（Ⅱ）∴∵,∴∴数列是一个递增数列∴．综上所述，．\n22.解：（Ⅰ）椭圆：的离心率为，则，不妨设，由得，，把代入双曲线方程得，解得，所以椭圆方程为．所以双曲线的方程为．（Ⅱ）设，点的坐标分别为，不妨设，内切圆半径．所以的周长是，所以，所以当圆的半径最大时，面积最大，即，设直线的方程为，，消去得，解得，，所以，不妨设，于是，因为在上单调递增，所以，当且仅当时取到．故直线与椭圆交于两点使得的内切圆的面积最大．\n所以，所以，即，故的面积为．
