2022-2022学年河北省衡水市冀州中学高一（下）期末数学试卷（文科）（A卷） 一、选择题：（共15小题．每小题4分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．cos42°cos78°﹣sin42°sn78°=（ ）A．B．﹣C．D．﹣2．已知向量，满足+=（1，﹣3），﹣=（3，7），•=（ ）A．﹣12B．﹣20C．12D．203．若函数，则f（f（1））的值为（ ）A．﹣10B．10C．﹣2D．24．已知，那么cosα=（ ）A．B．C．D．5．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（ ）A．B．C．1D．26．已知△ABC是边长为1的等边三角形，则（﹣2）•（3﹣4）=（ ）A．﹣B．﹣C．﹣6﹣D．﹣6+7．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（ ）A．B．C．D．8．定义2×2矩阵=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），则函数g（x）解析式为（ ）A．g（x）=﹣2cos2xB．g（x）=﹣2sin2xC．D．14/159．若sin（π+α）=，α是第三象限的角，则=（ ）A．B．C．2D．﹣210．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．7B．7C．7D．811．（1+tan18°）（1+tan27°）的值是（ ）A．B．C．2D．2（tan18°+tan27°）12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则f（6）的值为（ ）A．﹣1B．0C．1D．213．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（ ）A．B．C．D．14．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0，]B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）15．若函数f（x）=单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3） 二．填空题：（共5小题，每小题4分，共20分．）16．已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C三点共线，则k= ．17．已知向量、满足||=1，||=1，与的夹角为60°，则|+2|= ．18．若tan（α﹣）=，且，则sinα+cosα= ．14/1519．在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥面ABCD，若四边形ABCD为边长为2的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为 ．20．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by﹣2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）21．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R）．（1）若∥，求|﹣|（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．22．已知，且，（1）求cosα的值；（2）若，，求cosβ的值．23．已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），若函数f（x）=•．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，]，求f（x）的单调减区间．24．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，G为AD的中点．（1）求证：BG⊥PD；（2）求点G到平面PAB的距离．26．若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数有“飘移点”x0．（1）函数f（x）=是否有“飘移点”？请说明理由；（2）证明函数f（x）=x2+2x在（0，1）上有“飘移点”；（3）若函数f（x）=lg（）在（0，+∞）上有“飘移点”，求实数a的取值范围． 14/152022-2022学年河北省衡水市冀州中学高一（下）期末数学试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析 一、选择题：（共15小题．每小题4分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．cos42°cos78°﹣sin42°sn78°=（ ）A．B．﹣C．D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和的余弦公式，诱导公式，求得所给式子的值．【解答】解：cos42°cos78°﹣sin42°sn78°=cos（42°+78°）=cos120°=﹣cos60°=﹣，故选：B． 2．已知向量，满足+=（1，﹣3），﹣=（3，7），•=（ ）A．﹣12B．﹣20C．12D．20【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出两向量的坐标，代入数量积的坐标运算即可．【解答】解：∵=（4，4），∴，∴=（﹣1，﹣5）．∴=2×（﹣1）﹣2×5=﹣12．故选A． 3．若函数，则f（f（1））的值为（ ）A．﹣10B．10C．﹣2D．2【考点】函数的值．【分析】先求f（1），再求f（f（1））即可．【解答】解：f（1）=2﹣4=﹣2，f（f（1））=f（﹣2）=2×（﹣2）+2=﹣2，故选C． 4．已知，那么cosα=（ ）A．B．C．D．14/15【考点】诱导公式的作用．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选C． 5．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（ ）A．B．C．1D．2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，由于=+，可得：PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D．即可得出．【解答】解：如图所示，∵=+，∴PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D．∴=1．故选：C． 6．已知△ABC是边长为1的等边三角形，则（﹣2）•（3﹣4）=（ ）A．﹣B．﹣C．﹣6﹣D．﹣6+【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将式子展开计算．【解答】解：（﹣2）•（3﹣4）=3﹣4﹣6+8=3×1×1×cos120°﹣4×1×1×cos60°﹣6×12+8×1×1×cos60°=﹣﹣2﹣6+4=﹣．故选：B． 7．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（ ）14/15A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinC==，又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC得值．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=60°，∴由正弦定理可得：sinC===，又∵AB＜AC，C为锐角，∴cosC==．故选：D． 8．定义2×2矩阵=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），则函数g（x）解析式为（ ）A．g（x）=﹣2cos2xB．g（x）=﹣2sin2xC．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数g（x）解析式．【解答】解：由题意可得f（x）==cos2x﹣sin2x﹣cos（+2x）=cos2x+sin2x=2cos（2x﹣），则f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）=2cos[2（x﹣）﹣]=2cos（2x﹣π）=﹣2cos2x，故选：A． 9．若sin（π+α）=，α是第三象限的角，则=（ ）A．B．C．2D．﹣214/15【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，原式利用诱导公式化简，整理后将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（π+α）=﹣sinα=，即sinα=﹣，α是第三象限的角，∴cosα=﹣，则原式====﹣，故选：B． 10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．7B．7C．7D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，如图所示；所以该几何体的体积为V=V正方体﹣﹣14/15=23﹣××12×2﹣××1×2×2=7．故选：A． 11．（1+tan18°）（1+tan27°）的值是（ ）A．B．C．2D．2（tan18°+tan27°）【考点】两角和与差的正切函数．【分析】要求的式子即1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°，再把tan18°+tan27°=tan45°（1﹣tan18°tan27°）代入，化简可得结果．【解答】解：（1+tan18°）（1+tan27°）=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan45°（1﹣tan18°tan27°）+tan18°tan27°=2，故选C． 12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则f（6）的值为（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】奇函数．【分析】利用奇函数的性质f（0）=0及条件f（x+2）=﹣f（x）即可求出f（6）．【解答】解：因为f（x+2）=﹣f（x），所以f（6）=﹣f（4）=f（2）=﹣f（0），又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，所以f（6）=0，故选B． 13．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（ ）A．B．C．D．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】在图A中作出经过AB的对角面，发现它与CD垂直，故AB⊥CD成立；在图B中作出正方体过AB的等边三角形截面，可得CD、AB成60°的角；而在图C、D中，不难将直线CD进行平移，得到CD与AB所成角为锐角．由此可得正确答案．【解答】解：对于A，作出过AB的对角面如图，14/15可得直线CD与这个对角面垂直，根据线面垂直的性质，AB⊥CD成立；对于B，作出过AB的等边三角形截面如图，将CD平移至内侧面，可得CD与AB所成角等于60°；对于C、D，将CD平移至经过B点的侧棱处，可得AB、CD所成角都是锐角．故选A． 14．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0，]B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程得斜率等于，由于0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，求得倾斜角α的取值范围．【解答】解：直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的斜率等于，由于0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，∴≤α＜π，故选B． 15．若函数f（x）=单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】利用函数的单调性，判断指数函数的对称轴，以及一次函数的单调性列出不等式求解即可【解答】解：∵函数f（x）=单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3﹣a＞0且a＞1．但应当注意两段函数在衔接点x=7处的函数值大小的比较，即（3﹣a）×7﹣3≤a，可以解得a≥，综上，实数a的取值范围是[，3）．14/15故选：B． 二．填空题：（共5小题，每小题4分，共20分．）16．已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C三点共线，则k= ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线．【分析】利用三点共线得到以三点中的一点为起点，另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出k．【解答】解：向量，∴又A、B、C三点共线故（4﹣k，﹣7）=λ（﹣2k，﹣2）∴k=故答案为 17．已知向量、满足||=1，||=1，与的夹角为60°，则|+2|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件进行数量积的计算便可得出，从而便可求出，这样即可求出的值．【解答】解：根据条件，；∴；∴．故答案为：． 18．若tan（α﹣）=，且，则sinα+cosα= ．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】直接利用两角差的正切函数，求出tanα的值，根据角的范围，求出sinα+cosα的值．【解答】解：∵tan（α﹣）=，∴，∴tanα=3，∵，∴sinα=，cosα=∴sinα+cosα==．14/15故答案为： 19．在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥面ABCD，若四边形ABCD为边长为2的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为 17π ．【考点】球内接多面体．【分析】如图所示，连接AC，BD相交于点O1．取SC的中点，连接OO1．利用三角形的中位线定理可得OO1∥SA．由于SA⊥底面ABCD，可得OO1⊥底面ABCD．可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心，SC是外接球的直径．【解答】解：如图所示连接AC，BD相交于点O1．取SC的中点，连接OO1．则OO1∥SA．∵SA⊥底面ABCD，∴OO1⊥底面ABCD．可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心．因此SC是外接球的直径．∵SC2=SA2+AC2=9+8=17，∴4R2=17，∴四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为4πR2=π•17=17π．故答案为：17π 20．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by﹣2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是 （﹣∞，] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得直线2ax﹣by﹣2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），从而得到a=﹣b﹣1，进而ab=b（﹣b﹣1）=﹣b2﹣b，由此利用配方法能求出ab的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by﹣2=0（a，b∈R）对称，∴直线2ax﹣by﹣2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），∴﹣2a﹣2b﹣2=0，即a=﹣b﹣1，∴ab=b（﹣b﹣1）=﹣b2﹣b=﹣（b2+b）=﹣（b+）2+≤．∴ab的取值范围是（﹣∞，]．14/15故答案为：（﹣∞，]． 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）21．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R）．（1）若∥，求|﹣|（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）根据向量平行与坐标的关系列方程解出x，得出的坐标，再计算的坐标，再计算||；（2）令得出x的范围，再去掉同向的情况即可．【解答】解：（1）∵，∴﹣x﹣x（2x+3）=0，解得x=0或x=﹣2．当x=0时，=（1，0），=（3，0），∴=（﹣2，0），∴||=2．当x=﹣2时，=（1，﹣2），=（﹣1，2），∴=（2，﹣4），∴||=2．综上，||=2或2．（2）∵与夹角为锐角，∴，∴2x+3﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜3．又当x=0时，，∴x的取值范围是（﹣1，0）∪（0，3）． 22．已知，且，（1）求cosα的值；（2）若，，求cosβ的值．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）把已知条件平方可得sinα=，再由已知，可得cosα的值．（2）由条件可得﹣＜α﹣β＜，cos（α﹣β）=，再根据cosβ=cos（﹣β）=cos[（α﹣β）﹣α]，利用两角和差的余弦公式，运算求得结果．【解答】解：（1）由，平方可得1+sinα=，解得sinα=．再由已知，可得α=，∴cosα=﹣．14/15（2）∵，，∴﹣＜α﹣β＜，cos（α﹣β）=．∴cosβ=cos（﹣β）=cos[（α﹣β）﹣α]=cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=+=﹣． 23．已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），若函数f（x）=•．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，]，求f（x）的单调减区间．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用平面向量的数量积运算法则确定出f（x）解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；（2）根据正弦函数的递减区间及x的范围确定出f（x）的递减区间即可．【解答】解：（1）∵=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），∴f（x）=•=sinxcosx+sin2x=sin2x+﹣cos2x=sin（2x﹣）+，∵ω=2，∴T=π；（2）由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，且x∈[0，]，得到kπ+≤x≤kπ+，则f（x）的单调递减区间为[，]． 24．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，14/15∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5． 25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，G为AD的中点．（1）求证：BG⊥PD；（2）求点G到平面PAB的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接PG，证得PG⊥平面ABCD，即可得PG⊥GB，结合GB⊥AD，得GB⊥平面PAD，即可证得结论；（2）由等体积法VG﹣PAB=VA﹣PGB，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接PG，∴PG⊥AD，∵平面PAG⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，又GB⊥AD，∴GB⊥平面PAD∵PD⊂平面PAD∴GB⊥PD…（2）解：设点G到平面PAB的距离为h，在△PAB中，PA=AB=a，PB=a，∴面积S=a2，∵VG﹣PAB=VA﹣PGB，∴=，∴h=… 26．若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数有“飘移点”x0．14/15（1）函数f（x）=是否有“飘移点”？请说明理由；（2）证明函数f（x）=x2+2x在（0，1）上有“飘移点”；（3）若函数f（x）=lg（）在（0，+∞）上有“飘移点”，求实数a的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）按照“飘移点”的概念，只需方程有根即可，据此判断；（2）本问利用零点定理即可判断，即判断端点处的函数值异号；（3）若函数在（0，+∞）上有飘移点，只需方程在该区间上有实根，然后借助于二次函数的性质可以解决．【解答】解：（1）假设函数有“飘移点”x0，则即由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数没有飘移点．（2）令h（x）=f（x+1）﹣f（x）﹣f（1）=2（2x﹣1+x﹣1），所以h（0）=﹣1，h（1）=2．所以h（0）h（1）＜0．所以有“飘移点”．（3）上有飘移点x0，所以lg=lg+lg成立，即，整理得，从而关于x的方程g（x）=（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a在（0，+∞）上应有实数根x0．当a=2时，方程的根为，不符合要求，所以a＞0，当0＜a＜2时，由于函数g（x）的对称轴，可知只需4a2﹣4（2﹣a）（2﹣2a）≥0，所以，即3﹣．所以a的范围是[）． 14/15
