开封市2022届高三第一次模拟考试数学（文）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。参考公式：样本数据的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中为底面面积，为高柱体体积公式球的表面积，体积公式其中为底面面积，为高其中R为球的半径第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={n|n=3k-1,k∈Z}，B={x||x-1|＞3}，则A∩(B)=（A）A.{-1，2}B.{-2，-1,1,2,4}C.{1,4}D.Φ-11-\n2.已知复数（是虚数单位），，则（B）A.B.C.D.3.已知命题：函数在R为增函数，：函数在R为减函数，则在命题：； ：； ： 和 ： 中，真命题是（ C ）A．，B．，C．，（D），4.已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增.若实数满足,则的最小值是（C）A．B．1C．D．25.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（A）A.?B.?C.?D.?6．下列说法错误的是（B）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强；C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；D．在回归分析中，为0.98的模型比为0.80的模型拟合的效果好.7.一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1、2、3、4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是(D)A．B.C.D．-11-\n8.函数的图像如右图所示，为了得到这个函数的图像，只需将的图像上的所有的点（C）A.向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变;B.向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变;C.向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变;D.向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变.9.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( A )A．B.C.D．110.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（A）A．B．C．D．-11-\n11.已知双曲线满足彖件：（1）焦点为；（2）离心率为，求得双曲线的方程为.若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件共有（B）①双曲线上的任意点都满足；②双曲线的虚轴长为4；③双曲线的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合；④双曲线的渐近线方程为.A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数，，等式恒成立.若数列{}满足，且=，则的值为().A．4021B．3021C．2241D．2201第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于 ．102214.设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为{﹣1，}.-11-\n15.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0，关于直线2ax-by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（-∞，].16.若偶函数，满足，且时，，则方程在［－10,10］内的根的个数为.10三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）∵ccosA，BcosB，acosC成等差数列，∴2bcosB=ccosA+acosC由正弦定理知：a=2RsinA，c=2RsinC，b=2RsinB代入上式得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosB=sin（A+C）．又A+C=π﹣B，所以有2sinBcosB=sin（π﹣B），即2sinBcosB=sinB．而sinB≠0，所以cosB=，及0＜B＜π，得B=．（Ⅱ）由余弦定理得：cosB==，∴=，又a+c=，b=，∴﹣2ac﹣3=ac，即ac=，∴S△ABC=acsinB=××=．18.(本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（Ⅱ）求三棱锥C-ABC的高.-11-\n解：（Ⅰ）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF为△ACD的中位线∴AD∥EF，……………2分EF⊆平面EFB，AD⊄平面EFB∴AD∥平面EFB．……………4分（Ⅱ）设点C到平面ABD的距离为h，∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD，而AD⊥DC,∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD.……………8分∴,∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，∴=∴可解得：h=2．……………12分19.(本小题满分12分)甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图所示，乙的成绩中有一个数个位数字模糊，在茎叶图中用c表示.（把频率当作概率）（Ⅰ）假设c=5，现要从甲，乙两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？（Ⅱ）假设数字c的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．解：（Ⅰ）若c=5，则派甲参加比较合适，理由如下：，-11-\n……3分，，……6分∵，∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适.……8分（Ⅱ）若乙>甲，则（75+80×4+90×3+3+5+2+c）>85∴c>5∴c=6,7,8,9c的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为……12分20.（本小题满分12分）如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆,其中为椭圆的左顶点.（Ⅰ）求圆的半径;（Ⅱ）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，G．证明：直线与圆相切．解:（Ⅰ）设，过圆心作于,交长轴于由得,-11-\n即(1)……………2分而在椭圆上,(2)由(1)、(2)式得,解得或（舍去）……………4分(Ⅱ)设过与圆相切的直线方程为:(3)则,即(4)解得……………6分将(3)代入得,则异于零的解为设,，则则直线的斜率为：……………9分于是直线的方程为:即则圆心到直线的距离……………12分故结论成立.21．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝xlnx＋ax(a∈R)(Ⅰ)若函数f(x)在区间[,＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(Ⅱ)若对任意x∈(1,＋∞)，f(x)＞k(x－1)＋ax－x恒成立，求正整数k的值.-11-\n解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax，得：f′（x）=lnx+a+1∵函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，∴当x∈[e2，+∞）时f′（x）≥0，……………2分即lnx+a+1≥0在区间[e2，+∞）上恒成立，∴a≥-1-lnx．又当x∈[e2，+∞）时，lnx∈[2，+∞），∴-1-lnx∈（-∞，-3]．∴a≥-3；……………5分（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，即x•lnx+ax＞k（x-1）+ax-x恒成立，也就是k（x-1）＜x•lnx+ax-ax+x恒成立，∵x∈（1，+∞），∴x-1＞0．则问题转化为k＜对任意x∈（1，+∞）恒成立，……………6分设函数h（x）=，则h′(x)=，再设m（x）=x-lnx-2，则m′(x)=1-．∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上为增函数，∵m（1）=1-ln1-2=-1，m（2）=2-ln2-2=-ln2，m（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，m（4）=4-ln4-2=2-ln4＞0．∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0-lnx0-2=0．∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h′（x）＜0，……………8分∴h(x)=在（1，x0）上递减，x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴h(x)=在（x0，+∞）上递增，∴h（x）的最小值为h（x0）=．∵m（x0）=x0-lnx0-2=0，∴lnx0+1=x0-1，代入函数h（x）=得h（x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立，-11-\n∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3．……………12分请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22．（本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；……………5分（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．……………10分23．（本小题满分10分）选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．解：解：（Ⅰ）C1：即ρ2=2ρ（sinθ+cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，-11-\n化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，因为曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．……………5分（Ⅱ）由题意可得，；φ；；=2cos（+φ），∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cosφ=8×=4．……………10分24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．解：（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+≥2=2．……………5分（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞），不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．……………10分-11-
