开封市2022届高三第一次模拟考试数学（理）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。参考公式：样本数据的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中为底面面积，为高柱体体积公式球的表面积，体积公式其中为底面面积，为高其中R为球的半径-11-\n第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（是虚数单位），，则（B）A.B.C.D.2.设a=(,cosθ)与b=(-1,2cosθ)垂直,则cos2θ的值等于(C)A.-B.0C.-D.-13.已知命题：函数在R为增函数，：函数在R为减函数，则在命题：； ：； ： 和 ： 中，真命题是（ C ）A．，B．，C．，（D），4.已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增.若实数满足,则的最小值是（C）A．B．1C．D．25.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（A）A.?B.?C.?D.?6．下列说法错误的是（B）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强；C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；-11-\nD．在回归分析中，为0.98的模型比为0.80的模型拟合的效果好.7.g(x)=f(x)-1在[-2π,0]上零点的个数为(B)A.0B.1C.2D.3若x,y满足约束条件且目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则的取值范围是（B）8.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(D).A.B.C.D.9.已知在各项为正的等比数列{an}中,a2与a8的等比中项为8,则4a3+a7取最小值时首项a1等于(C)A.8B.4C.2D.110.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（A）A．B．C．D．11.已知双曲线满足彖件：（1）焦点为；（2）离心率为，求得双曲线的方程为.若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件共有（B）①双曲线上的任意点都满足；②双曲线的虚轴长为4；-11-\n③双曲线的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合；④双曲线的渐近线方程为.A．1个B．2个C．3个D．4个12.设函数f(x)=ex(x3-3x+3)-aex一x（x≥-2），若不等式≤0有解．则实数a的最小值为(C)A．—1B．2一C．1-D．1+2e2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。一、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为{﹣1，}.14.已知函数=2sin(π+x)sin(x+）的图象关于原点对称，其中，则函数.则.15.在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且时，则x-y=.-216.已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数，，等式恒成立.若数列{}满足，且=，则的值为.4021三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列（Ⅰ）求∠B；-11-\n（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）∵ccosA，BcosB，acosC成等差数列，∴2bcosB=ccosA+acosC由正弦定理知：a=2RsinA，c=2RsinC，b=2RsinB代入上式得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosB=sin（A+C）．又A+C=π﹣B，所以有2sinBcosB=sin（π﹣B），即2sinBcosB=sinB．而sinB≠0，所以cosB=，及0＜B＜π，得B=．（Ⅱ）由余弦定理得：cosB==，∴=，又a+c=，b=，∴﹣2ac﹣3=ac，即ac=，∴S△ABC=acsinB=××=．18.(本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．解：（Ⅰ）平面ADC⊥平面ABC，且,即又平面平面（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系设平面和平面的法向量分别是-11-\n由解得二面角的余弦值为.19.（本小题满分12分）某生物产品，每一生产周期成本为10万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：产量（吨）3050概率0.50.5市场价格（万元/吨）0.61概率0.40.6（Ⅰ）设X表示1生产周期此产品的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若连续3生产周期，求这3生产周期中至少有2生产周期的利润不少于20元的概率．解：（Ⅰ）设A表示事件“产品产量为30吨”，B表示事件“作物市场价格为0.6万元/吨”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，则X的分布列为：X40208P0.30.50.2（Ⅱ）设Ci表示事件“第i生产周期利润不少于20万元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（Ci）=P（X=40）+P（X=20）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3生产周期的利润均不少于20的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，-11-\n3生产周期的利润有2生产周期不少于20的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，（本小题满分12分）20.如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆,其中为椭圆的左顶点.（Ⅰ）求圆的半径;（Ⅱ）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，G．证明：直线与圆相切．解:（Ⅰ）设，过圆心作于,交长轴于由得,即(1)……………2分而在椭圆上,(2)由(1)、(2)式得,解得或（舍去）……………4分(Ⅱ)设过与圆相切的直线方程为:(3)则,即(4)解得……………6分-11-\n将(3)代入得,则异于零的解为设,，则则直线的斜率为：……………9分于是直线的方程为:即则圆心到直线的距离……………12分故结论成立.21．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝xlnx＋ax(a∈R)(Ⅰ)若函数f(x)在区间[,＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(Ⅱ)若对任意x∈(1,＋∞)，f(x)＞k(x－1)＋ax－x恒成立，求正整数k的值.解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax，得：f′（x）=lnx+a+1∵函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，∴当x∈[e2，+∞）时f′（x）≥0，……………2分即lnx+a+1≥0在区间[e2，+∞）上恒成立，∴a≥-1-lnx．又当x∈[e2，+∞）时，lnx∈[2，+∞），∴-1-lnx∈（-∞，-3]．∴a≥-3；……………5分（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，即x•lnx+ax＞k（x-1）+ax-x恒成立，也就是k（x-1）＜x•lnx+ax-ax+x恒成立，∵x∈（1，+∞），∴x-1＞0．则问题转化为k＜对任意x∈（1，+∞）恒成立，……………6分-11-\n设函数h（x）=，则h′(x)=，再设m（x）=x-lnx-2，则m′(x)=1-．∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上为增函数，∵m（1）=1-ln1-2=-1，m（2）=2-ln2-2=-ln2，m（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，m（4）=4-ln4-2=2-ln4＞0．∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0-lnx0-2=0．∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h′（x）＜0，……………8分∴h(x)=在（1，x0）上递减，x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴h(x)=在（x0，+∞）上递增，∴h（x）的最小值为h（x0）=．∵m（x0）=x0-lnx0-2=0，∴lnx0+1=x0-1，代入函数h（x）=得h（x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3．……………12分请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22．（本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．-11-\n证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；……………5分（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．……………10分23．（本小题满分10分）选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．解：解：（Ⅰ）C1：即ρ2=2ρ（sinθ+cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，因为曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．……………5分（Ⅱ）由题意可得，；φ；；=2cos（+φ），∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cosφ=8×=4．……………10分24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；-11-\n（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．解：（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+≥2=2．……………5分（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞），不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．……………10分-11-
