湖南省2022学年邵阳市邵东县第一中学高二下学期期末考试数学试题

湖南省邵东一中2022-2022学年下学期高二年级期末考试试题数学（理）分值：150分时量：120分钟一选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题所给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的。)1、等差数列中a中，aa10,a7，则数列a的公差为()n154nA、1B、2C、3D、42、三角形ABC中，a1,b3，∠A=30°，则∠B等于()A、60°B、30°或150°C、60°或120°D、120°3已知命题p:彐x∈R,x2-x+1≥0,命题q:若a2<b2,则a<b,下列命题为真命题的是()ApqB.p(q)C.pqD.(p)(q)22xy4若双曲线1的一条渐近线经过点(3，—4),则此双曲线的离心率为()22ab7545AB.C.D.34335、下列命题为真命题的个数是（）。2①x{x|x是无理数｝，x是无理数；22②命题“∃x0∈R，x0＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x＋1≤3x”；22③命题“若xy0xR,yR,则xy0”的逆否命题为真命题；xx④(2e）=2e。A．1B.2C.3D.422226、与圆xy1及圆xy8x70都外切的圆的圆心在（）。A．一个圆上B.一个椭圆上C.双曲线的一支上D.抛物线上→→→→7、平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若AC′＝xAB＋2yBC－3zCC′，则x＋y＋z＝()。752A．1B．C．D．6631/8\nx18、已知点P(x，y)的坐标满足条件yx1那么点P到直线3x－4y－13＝0的距x3y50离的最小值为()。911A.2B．1C.D．55329、函数f(x)＝ax＋bx＋cx－34(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，若不等式f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，且f(x)的极小值等于－196，则a的值是()。811A．－B．C．5D．422322ab10、设0x1，a，b都为大于零的常数，则的最小值为（）。x1x22222A．(ab)B．(ab)C.abD．a22xy11、如图F1、F2分别是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|ab为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为()。312A．B．C．D．3－1222ln(2x)212、已知函数f(x)，关于x的不等式f(x)af(x)0只有两个整数解，x则实数a的取值范围是（）1111A．,ln2B．ln2,ln6C．ln2,ln6D．ln6,ln23333二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13、设曲线y＝3x－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程。14、已知a(1t,2t1,0),b(2,t,t)，则|ba|的最小值为。1215、(1x|x|)dx=。1216、直线l与抛物线y8x交于A,B两点，且l经过抛物线的焦点F，已知A(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离为。2/8\n三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.(本小题10分)1已知数列a满足aa(nN),且a1nn1n33①)求a及a；1n(2)设blogan求数列b的前n项和Sn3nn18.(本小题12分)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.且(b-c)2=a2—3bc(I)求角A(Ⅱ)若a3,b1求角B及△ABC的面积19.(本小题12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,AA1⊥AB，AB=3，BC=5.(l)求证:AA1⊥BC(II)求二面角A1-BC1-B1的余弦值:20、（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单3/8\na2位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)，x－3其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．21.(本小题12分)22xy已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2且椭圆C上的点22ab3P(1,)到F1、F2两点的距离之和为42(I)求椭圆C的方程;(II)若直线y=kx+m与椭圆C交于M、N两点,O为坐标原点直线OM、0N的1斜率之积等于4试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由22.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.(1)若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若g(x)＝ex＋x2－f(x)，当a≤2时，证明：g(x)>0.4/8\n参考答案一、选择题BCBDBCBADBDC二、填空题13、14、15、16、三、解答题17.(本小题10分)11解：（1）aa，且a1，a0，数列{a}是公比为的等比数列，n1n31n23121n11n3aa()1，a9，a9()()……………………5分311n333（2）由（1）知b3n，nbb1，又b2，数列{b}是首项为2，公差为1的等差数列，n1n1n2n(23n)n5nS………………………………………………10分n2218.(本小题12分)22222解：（1）（bc)a3bc,即bcabc222bca1在ABC中，由余弦定理得cosA2bc22又0A，A……………………………………………………5分3ba131（2）在ABC中，由正弦定理得，即，sinB，sinBsinAsinB22sin313又0B，B，C，S31sin…10分ABC2662645/8\nz19.(本小题12分)解：（1）证明：AA1C1C是边长为4的正方形，AA1AC，又AAAB，ACABA，AA平面ABC，11AA1⊥BC………………………4分yx222（2）在ABC中，有ABACBC，ABAC分别以AB,AC,AA为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系1A1(0,0,4),C1(0,4,4),B(3,0,0)，A1C1(0,4,0),A1B(3,0,4)，4y10设平面A1BC1的法向量为n1(x1,y1,z1)，则，3x4z011取x14，则n1(4,0,3)，同理得平面BC1B1的法向量n2(4,3,0)n1n216设二面角ABCB的平面角为，则cos……………10分111|n||n|2512a20、解：(1)∵x＝5时，y＝11，∴2＋10＝11，∴a＝2，------------------322(2)由(1)知该商品每日的销售量y＝x－3＋10(x－6)，[]∴商场每日销售该商品所获得的利润为2f(x)＝2＋10(x－3)(x－6)，3<x<6.------------------6f′(x)＝30(x－4)(x－6)，------------------8令f′(x)＝0，得x＝4.当3<x<4时，f′(x)>0，函数f(x)在(3，4)上递增；当4<x<6时，f′(x)<0，函数f(x)在(4，6)上递减，------------------10[]∴当x＝4时，函数f(x)取得最大值f(4)＝42.------------------11∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．-------126/8\n21.(本小题12分)3解：（1）由已知2a4a2，又点P(1,)在椭圆上，232（）2122x21，b1，故椭圆方程为y1……………4分24b4（2）设M(x,y),N(x,y)，1122ykxm22由x2得：（14k)8mkx4(m1)02y14222222△=64mk﹣16（1+4k）（m﹣1）＞01+4k﹣m＞0且1∵直线OM，ON的斜率之积等于，4,即：2m24k21又O到直线MN的距离为，，所以SOMN（定值）2x2＋2ax＋122．【解析】(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f′(x)＝x＋a方程2x2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝4a2－8.(ⅰ)若Δ<0，即－2<a<2，在f(x)的定义域内f′(x)>0，故f(x)单调递增．(ⅱ)若Δ＝0，则a＝2或a＝－2.（2x＋1）2若a＝2，x∈(－2，＋∞)，f′(x)＝.x＋222－2，－－，＋∞当x＝－2时，f′(x)＝0，当x∈2∪2时，f′(x)>0，所以2f(x)单调递增．7/8\n（2x－1）2若a＝－2，x∈(2，＋∞)，f′(x)＝>0，f(x)单调递增．x－2(ⅲ)若Δ>0，即a>2或a<－2，－a－a2－2－a＋a2－2则2x2＋2ax＋1＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝.22当a<－2时，x1<－a，x2<－a，从而f′(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)单调递增．当a>2时，x1>－a，x2>－a，f′(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，即f(x)在定义域上不单调．综上：实数a的取值范围为a≤2.6分(2)因为g(x)＝ex＋x2－f(x)＝ex－ln(x＋a)，当a≤2，x∈(－a，＋∞)时，ln(x＋a)≤ln(x＋2)，故只需证明当a＝2时，g(x)>0.1当a＝2时，函数g′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上单调递增，x＋2又g′(－1)<0，g′(0)>0，故g′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且x0∈(－1，0)，当x∈(－2，x0)时，g′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，从而当x＝x0时，g(x)取得最小值g(x0)．1由g′(x0)＝0得ex0＝，ln(x0＋2)＝－x0，x0＋2x2（x210＋2x0＋10＋1）故g(x0)＝ex0－ln(x0＋2)＝＋x0＝＝>0，所以g(x)≥g(x0)>0.x0＋2x0＋2x0＋2综上，当a≤2时，g(x)>0.12分8/8