2022年岳阳县一中高二上学期第一次月考试题数学试卷（理）时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题共６0分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合的关系如右图所示，则“”是“”的（B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若，则下列不等式成立的是（ C ）A.B.C.D.3．已知集合，集合，以下命题正确的个数是（C）①②③都有④都有A.4B.3C.2D.1答案：C4．若,则不等式的解集是（ B ）A.B.C.D.5．设是等差数列的前n项和，若，则（A）A．B．C．D．6．与点和点连线的斜率之和为的动点的轨迹方程是(B)7．已知，用反证法求证：-7-\n时，应反设为.(B)A.全不是正数B.不全是正数C.全是负数D.不全是负数答案：B8．已知，则之间的大小关系为( A )A.B.C.D.【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.m＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤()－2＝4.9．不等式组的解集记为，若则（A）A.B.C.D.答案：A作出不等式组所表示的图象知A正确.10.下列有关命题的说法正确的是( D )．A．命题“若，则＝0”的否命题为“若，则≠0”B．命题“若，则”的逆否命题为真命题C．命题“∈R，使得”的否定是“∈R，均有”D．“若，则互为相反数”的逆命题为真命题解析 命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，所以A错；命题“∃x∈R，使得2x2－1<0”的否定是“∀x∈R，均有2x2－1≥0”，所以C错；命题“若cosx＝cosy，则x＝y”为假命题，故其逆否命题也假，故B错；“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”显然正确．所以应选D.11．已知成等差数列，成等比数列，则的取值范围是（ C ）A.B.C.D.【解析】由等差数列、等比数列的性质得a＋b＝x＋y，cd＝xy，所以＝＝2＋＋，当＞0时，≥4；当＜0时，≤0，-7-\n故的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).x12345f(x)34521（第12题图）12．函数由右表给定若，则的值为___________．（ D ）A.2B.3C.4D.5答案:D解：数列的周期为６，第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共４小题，每小题5分，共2０分.把答案填在答题卡的相应位置.13．椭圆的焦点坐标是 .14．已知若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .解:由题意得，是的充分不必要条件，表示的集合应该是表示集合的真子集，15．已知公差不为零的等差数列的前4项和为10，且成等比数列，则数列的通项公式为 .答案：设数列的首项为，公差为，由题意知解得，.16.已知，，则的最小值为 .答案：９三、解答题：本大题共6小题，共7０分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.-7-\n解答写在答题卡上的指定区域内.17．（本小题满分10分）点与定点的距离和它到定直线的距离的比是1︰2.(1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形;(2)过点作直线与的轨迹交于点（不在轴上），设，求证：三角形的周长为定值.解：（１）设是点到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合由此得……………………３分将上式两边平方并化简得，即……………………５分所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆.……………………７分（２）由（１）知的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且焦点为，三角形的周长为……………………１０分18．（本小题满分12分）设,求证:成立的充要条件是．证明:1)充分性:如果,那么,①②③于是明显成立．如果即或当时,显然成立;当时,成立;总之,当时,有成立．………………………………………6分2)必要性:由得即得所以,-7-\n故必要性成立,综上,原命题成立．故结论成立．…………………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）已知数列满足：（n∈N*）.(1)令，证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式．[解析] (1)证明：b1＝a2－a1＝1，当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an＝－(an－an－1)＝－bn－1.∴{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列；(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝n－1，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋＋…＋n－2＝1＋＝1＋＝－n－1，当n＝1时，－1－1＝1＝a1，∴an＝－n－1(n∈N*)．20．（本小题满分12分）在一定面积的水域中养殖某种鱼类,每个网箱的产量是网箱个数的一次函数.如果放置4个网箱,则每个网箱的产量为24吨;如果放置7个网箱,则每个网箱的产量为18吨.由于该水域面积限制,最多只能放置12个网箱.已知养殖总成本为万元.(1)试问放置多少个网箱时,总产量最高?(2)若鱼的市场价为1万元/吨,应放置多少个网箱才能使每个网箱的平均收益最大?【解】(1)由已知可设,则,解之得,故.…………………………………………………………………………2分-7-\n总产量………4分所以当时,总产量取得最大值128.即放置8个网箱时,总产量最高.……………………………………………………6分(2)设每个网箱的平均收益为万元,因为总收益所以……………………………9分因为(当且仅当,即时等号成立),所以,即当时,………………………………1１分答:放置5个网箱才能使每个网箱的平均收益最大.……………………………………1２分21．（本小题满分12分）设约束条件所确定的平面区域为.（1）记平面区域的面积为S＝f(t)，试求f(t)的表达式．（2）设向量，在平面区域（含边界）上，，当面积取到最大值时，用表示，并求的最大值.解：（1）由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP，如图所示，其面积S＝f(t)＝S△OPD－S△AOB－S△ECD，而S△OPD＝×1×2＝1.S△OAB＝t2，S△ECD＝(1－t)2，所以S＝f(t)＝1－t2－(1－t)2＝－t2＋t＋.（2）由得所以S＝f(t)＝－t2＋t＋，则当时面积取到最大值.点坐标为-7-\n由线性规划知识，直线经过可行域中点时取到最大值，所以的最大值也为22．（本小题满分12分）已知和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；不等式有解.如果“”与“”均为假命题，求实数的取值范围.解：和是方程的两个实根，∴，，当时，，由不等式任意实数恒成立，可得，∴或，∴为真命题时，或。不等式有解，①当显然有解，②当时，有解，③当时，有解，，∴为真命题时：。又“”与“”均为假命题，∴有且仅有一个为真，一个为假①;②综上所述，的取值范围为-7-
