永昌县第一高级中学2022-2022-2期中考试卷高一数学第I卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．与405°角终边相同的角是………………………………………………………………………( )A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z2．设向量a＝(1，0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是……………………………………( )A．|a|＝|b|B．a·b＝C．a－b与b垂直D．a∥b3．sin600°＋tan240°的值是………………………………………………………………………( )A．－B.C．－＋D.＋4．关于平面向量a，b，c，有下列四个命题：①若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa；②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb；④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)．其中正确的命题是…………………………………………………………………………………( )A．①③B．①④C．②③D．②④5．的值是……………………………………………………( )A．B．C.D．6．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则向量a在向量b7\n上的投影等于……………………( )A．－4B．4C．－D.7．已知函数y＝2sin(ωx＋φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于……………………( )A．1B．2C.D.8．sin1，sin2，sin3的大小关系为………………………………………………………………( )A．sin1<sin2<sin3B．sin2<sin3<sin1C．sin3<sin2<sin1D．sin3<sin1<sin29．的值为…………………………………………………………………………( )A．B．C.D．10．把函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位可以得到函数g(x)的图象，则g等于……………………………………………………………………………………………………( )A．－B．C．－1D．111．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于……( )A．B．C．－D．－12．设0≤θ≤2π，向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则7\n向量的模长的最大值为……………………………………………………………………………………………( )A．B．C．2D．3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为________．14．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.15．已知为第三象限的角，，则________．16.如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：①＋＝2；②＝2＋2；③·＝·；④(·)＝(·)．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知α是第三象限角，f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值．18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，7\n(1)c∥d；(2)c⊥d.19．(12分)已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．21．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0且ω>0,0<φ<)的部分图象，如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a在上有两个不同的实根，试求a的取值范围．22．(12分)已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，今有动点P从P0(－1，2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为e1＋e2；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为3e1＋2e2，设P、Q在t＝0s时分别在P0、Q0处，问当⊥时所需的时间t为多少？7\n永昌县第一高级中学2022-2022-2期中考试卷高一数学（答案）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．C2．C3．B4．B 5．B6．A 7．B 8．D9．D 10．D11．A12．D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(6π＋40)cm14．315．-716．①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（10分）解 (1)f(α)＝＝…………………………………………………………………（3分）＝……………………………………………………………………………（4分）＝－cosα.……………………………………………………………………………………（5分）(2)∵cos(α－)＝cos(－α)＝－sinα＝.∴sinα＝－.…………………………………………………………………………………（7分）∵α是第三象限角，∴cosα＝－.………………………………………………………（9分）∴f(α)＝－cosα＝.………………………………………………………………………（10分）18．（12分）解 由题意得a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×＝3.……………………………（2分）(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．………………………………………………（4分）∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.（6分）(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.………………………………………（9分）∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－.………………………………………………（12分）19．（12分）解 (1)∵f(x)＝sin2＋1－cos2＝2＋1…………………………………………………7\n（2分）＝2sin＋1…………………………………………………………………（4分）＝2sin＋1…………………………………………………………………………（5分）∴T＝＝π.………………………………………………………………………………（6分）(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，………………………………………………（8分）有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，……………………………………………（10分）∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．………………………………………………（12分）20．（12分）解 (1)＝(3,5)，＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|＋|与|－|的大小．……………………………………（2分）由＋＝(2,6)，得|＋|＝2，…………………………………………………（4分）由－＝(4,4)，得|－|＝4.……………………………………………………（6分）(2)＝(－2，－1)，………………………………………………………………………（8分）∵(－t)·＝·－t2，易求·＝－11，2＝5，……………………（10分）∴由(－t)·＝0得t＝－.…………………………………………………………（12分）21．（12分）解 (1)由图象易知函数f(x)的周期为T＝4×＝2π，A＝1，所以ω＝1.………………………………………………（2分）方法一 由图可知此函数的图象是由y＝sinx的图象向左平移个单位得到的，故φ＝，（4分）所以函数解析式为f(x)＝sin.…………………………………………………………（6分）方法二 由图象知f(x)过点，则sin＝0，∴－＋φ＝kπ，k∈Z.∴φ＝kπ＋，k∈Z，…………………………………………………………………………（3分）又∵φ∈，∴φ＝，……………………………………………………………………7\n（5分）∴f(x)＝sin.……………………………………………………………………………（6分）(2)方程f(x)＝a在上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在上有两个交点，（8分）在图中作y＝a的图象，如图为函数f(x)＝sin在上的图象，……………（10分）当x＝0时，f(x)＝，当x＝时，f(x)＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈∪(－1,0)．…………………………………………（12分）22．（12分）解 e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为(，)；3e1＋2e2＝(3,2)，|3e1＋2e2|＝，其单位向量为(，)，如图．……………（4分）依题意，||＝t，||＝t，……………………………………………………（6分）∴＝||(，)＝(t，t)，＝||(，)＝(3t,2t)，……………………（8分）由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，∴＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)，……………………………………………（10分）由于⊥，∴·＝0，即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.∴当⊥时所需的时间为2s.……………………………………………………（12分）7
