“四地六校”联考2022-2022学年上学期第三次月考高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、已知集合()A.B.C.D.2.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知函数的值域为，则a的值是（）4.在等比数列中，，，则(）A．-9B.-6C.6D.95、已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球体积为（）A．6、在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝2，则·的值是( )A.2B．C．0D．17.若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8．若，则的大小关系()A．B．C．D．9、已知＞0，函数上单调递减．则9的取值范围是（ ）10.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前2022项和＝()11.定义行列式运算：.若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（）A．B．C．D．12.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且,则△ABC的面积最大值为（）二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置).K*S&5#U.C^OM13.已知等差数列中，，则 14直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的正弦值为15.已知变量满足,则的最大值为16.在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1.记Sn是数列{an}的前n项和，则S200＝三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、（本题满分12分）已知正项数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前项和，证明918、（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，，，，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于（1）求证：平面BCE⊥平面BDE；（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值．19.（本题满分12分）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，0<<)的部分图象如图所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ＝4，OP＝，PQ＝.(1)求函数y＝f(x)的对称轴方程；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[0，3]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的值域．20.（本题满分12分）已知函数．（1）求函数处的切线方程。（2）若曲线与有三个不同的交点，求实数m的取值范围．921．（本题满分12分）设函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）如果对于任意的，都有成立，试求a的取值范围．请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4—4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2cosθ，过点P(－2，－4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)证明|PM|，|MN|，|PN|成等比数列．选修4—5：不等式选讲23、设函数的最小值为．（1）求；（2）已知两个正数满足求的最小值．9“四地六校”联考2022-2022学年上学期第三次月考高三理科数学参考答案一、选择题：1-12ACCDBACDCABB二、填空题：13.14.15.16.510017.解：（1）由题意，，成等差数列，，当时……………………1分当时……………………2分两式相减得由为正项数列，……………………4分因此数列{an}是以为首项，以2为公比的等比数列．即……………6分（2）证明由（1）知……………………7分……………………8分则，……………………11分即……………………12分18（1）证明：∵平面平面ABCD，平面平面，，，∴平面ABCD，……………………1分又平面ABCD，．平面ABCD，为BE与平面ABCD所成的角，设，则，在中，，，……………………3分在直角梯形ABCD中，，在中，，9，，……………………4分又，平面BDE，又，∴平面平面．……………………6分(2)解：由题知，DA，DC，DE两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，……………………7分则，取平面CDE的一个法向量，……………………8分设平面BDF的一个法向量，则即令，则，所以．………………10分、设平面BDF与平面CDE所成锐二面角的大小为，则，……………………11分所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值是．……………………12分19.解：(1)由条件，cos∠POQ＝＝，……………………1分所以P(1，2)．所以A＝2，周期T＝4×(4－1)＝12，又＝12，则ω＝.将点P(1，2)代入f(x)＝2sin，得sin＝1，……………………3分因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.……………………4分函数y＝f(x)的对称轴方程为即对称轴方程是（）……………………6分(2)由题意，可得g(x)＝2sinx.…………………7分9所以h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin·sinx＝2sin2x＋2sinx·cosx＝1－cosx＋sinx＝1＋2sin.……………………9分当x∈[0，3]时，x－∈，所以sin∈.……………………11分所以函数h(x)的值域为[0，3]．……………………12分20解：（Ⅰ）∵函数，∴f'（x）=x2﹣3x+2，……………………1分f'（3）=2，……………………3分在处的切线方程是…………………4分即…………………5分（Ⅱ）令f（x）=2x+m，即，∴，设g（x）=，……………………7分∵曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，∴函数y=g（x）与y=m有三个不同的交点，令g'（x）=0，解得x=0或x=3，当x＜0或x＞3时，g'（x）＞0，当0＜x＜3时，g'（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，0），（3，+∞）单调递增，在（0，3）单调递减，………9分∵，即……………………11分画出函数g（x）的大值图象如右图，9∴实数m的取值范围为．……………………12分21.（Ⅰ）函数的定义域为，，………………1分当时，，函数在区间上单调递增；…………2分当a>0时，若，则，函数单调递增；……………3分若，则，函数单调递减；………………4分所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．………………5分（Ⅱ），，可见，当时，，在区间单调递增，……6分当时，，在区间单调递减，……7分而，所以，在区间上的最大值是1，依题意，只需当时，恒成立，即恒成立，亦即；……8分令，则，显然，当时，，，，即在区间上单调递增；……10分当时，，，，上单调递减；所以，当x=1时，函数取得最大值，……11分9故，即实数a的取值范围是……12分22.解：(1)把代入ρsin2θ＝2cosθ，得y2＝2x……2分由(t为参数)，消去t得x－y－2＝0，……4分∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2x，x－y－2＝0.…5分(2)证明将(t为参数)代入y2＝2x，整理得t2－10t＋40＝0.……7分设t1，t2是该方程的两根，则t1＋t2＝10，t1·t2＝40，∵|MN|2＝(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝40……8分|PM|·|PN|=t1·t2＝40，∴|MN|2==PM|·|PN|……9分∴|PM|，|MN|，|PN|成等比数列……10分23解：（I）函数，……3分当x∈（﹣∞，1]时，f（x）单调递减；当x∈[1，+∞）时，f（x）单调递增，……4分所以当x=1时，f（x）的最小值a=．……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥……7分故有+≥2≥，当且仅当m=n=时取等号．……9分所以+的最小值为．……10分9
