“四地六校”联考2022-2022学年上学期第三次月考高二数学试题（理科）（时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只且仅有一项是符合题目要求的。1．已知命题:，则（）A．B．C．D．2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（）A.B.C.D.3．如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等于（）A．B．C．D．4．墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（）A．B．C．D．与a的取值有关5.“”是“方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的( )A．充分不必要条件B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件6．某厂节能降耗技术改造后，在生产过程中记录了产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如右表所示，根据右表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么a的值等于（）A．0.35B．3.15C．3.5D．0.47.直线：y=kx+1与双曲线2x2-y2=1有且仅有一个公共点，则直线条数为（）A．2B．4C．6D．315\n8．设双曲线的渐近线方程为则的值为（）A．4B．3C．2D．19.下列结论错误的是（）A．命题“若，则”与命题“若则”互为逆否命题;B．命题，命题则为真;C．“若则”的逆命题为真命题;D．若为假命题，则、均为假命题．10．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S＝1320，那么判断框中应填入（） A． B． C． D．11.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于（）A.B.或2C.2D.12.设表示不超过实数的最大整数，则在坐标平面上，满足的点所形成的图形的面积为（）A．2B．4C．6D．8第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13．某公司共有员工名，现须新设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取人，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 14．右图是某市歌手大奖赛中评委组为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 15．F是抛物线的焦点，A是抛物线E上任意一点。现给出下列四个结论：①以线段AF为直径的圆必与y轴相切；②当点A为坐标原点时，|AF|为最短；③若点B是抛物线E上异于点A的一点，则当直线AB过焦点F时，|AF|+|BF|取得最小值；④点B、C是抛物线E上异于点A的不同两点，若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，则点A、B、C的横坐标亦成等差数列。其中正确结论的序号有 15\n16．过抛物线的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）设:实数x满足,:实数满足(Ⅰ)若,且为真,求实数的取值范围.(Ⅱ)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.18．（本小题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.19.（本小题满分12分）如图，在长方体中，，，为中点.（Ⅰ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.15\n20.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数．21.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，是中点.（I）求证：平面；（II）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22.（本小题满分12分）已知动圆C过定点(1,0),且与直线x=－1相切.（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程;（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和,当时,求证直线AB恒过一定点M，并求M坐标。15\n“四地六校”联考2022-2022学年上学期第三次月考高二数学答题卷（理科）（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)15\n题号123456789101112答案18、二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、 14、 15、 16、 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、（本小题满分10分）18、（本小题满分12分）15\n19、（本小题满分12分）20、（本小题满分12分）15\n21、（本小题满分12分）22、（本小题满分115\n“四地六校”联考2022-2022学年上学期第三次月考高二（理科）数学参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案CDCABABCCDAB18、二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分15\n13、2014、1.6 15、①②③④ 16、三、解答题：本大题共6小题，共70分．17解：（Ⅰ）由得，又，所以，当时，，即为真时，实数的取值范围是；……………（2分）由，得，即为真时，实数的取值范围是；（4分）为真，则真且真，所以实数的取值范围是.……………………（5分）（Ⅱ）是的充分不必要条件，即且设，，则，……………………………………………（7分）又，，则，且，所以实数的取值范围是……………………（10分）18解:（Ⅰ）百米成绩在[16,17)内的频率为0.321=0.32---------------------------------------1分0.321000=320∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。-------------------------------2分（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x依题意，得3x+8x+19x+0.321+0.081=1，∴x=0.02--------------------------------------5分设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，则∴n=50∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩。---------------------------------7分（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有30.02150=3，记他们的成绩为a，b，c-------8分百米成绩在第五组的学生数有0.08150=4，成绩为m，n，p，q--------------9分则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21个------------10分其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12个，15\n---------------11分所以P=----------------------------------------------------------------12分19（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系，则,设平面的法向量为，则即令，则………………4分………………6分所以与平面所成角的正弦值为………………7分（Ⅱ）假设在棱上存在一点，使得∥平面.设的坐标为，则因为∥平面所以，即，，解得，…………10分所以在棱上存在一点，使得∥平面,此时的长.……12分20.（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，又因为，所以，解得，故椭圆方程为．…………………4分15\n（Ⅱ）将代入并整理得，解得．…………………7分（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明．设，，则．…………………8分所以直线的斜率互为相反数．…………………12分21.(I)证明：连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点，又为中点，所以为的中位线，所以………………2分又平面，平面所以平面………………4分（Ⅱ）解：因为，设平面的法向量为，则有，得，则，………………7分因为平面,取平面的法向量为15\n………………11分………………10分平面与平面所成锐二面角的余弦值………………12分22.解:(Ⅰ)设动圆圆心M(x,y),依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=－1为准线的抛物线其方程为y2=4x.…………4分(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得x1≠x2且x1x2≠0,则所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky2－4y+4b=0.…………6分由韦达定理得…………7分因所以,…………8分解得y1y2=16,又y1y2=所以b=4k;…………11分因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒过定点(－4,0).…………12分高二数学月考三命题双向细目表(理科)题型题号考查知识点考查层次（能力要求）考查分值15\n层次识记理解掌握灵活运用选择题1含有量词命题否定理解52抛物线的性质方程理解53空间向量运算掌握54几何概型理解55椭圆方程、充要条件了解56回归直线掌握57双曲线与直线位置关系了解58双曲线渐近线掌握59逻辑掌握510程序框图理解511圆锥曲线定义、离心率掌握512椭圆的知识综合问题掌握5填空题13分层抽样了解514茎叶图、方差理解515抛物线定义解题灵活运用516抛物线的综合应用灵活运用5解1简易逻辑的应用理解115\n答题1频率分布直方图、古典概型掌握11空间向量在立体几何中应用1之线面角理解2直线与椭圆关系综合问题之弦长、弦中点、面积最值理解12间向量在立体几何中应用之二面角掌握12直线与抛物线关系之定点问题灵活运用115
