长泰一中2022/2022学年上学期高三期末考数学（理科）试卷第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1.若集合，则中元素个数为（）A.6个B.4个C.2个D.0个2．如果复数为纯虚数，那么实数的值为（）A．－2B．1C．2D．1或－23.在中，若,则的面积()A、B、C、D、4．下列命题中，真命题是（）A．B．C．D．5.某程序框图如图所示，若程序运行后输出S的值是25，则图中判断框①处可填入的语句是（）A．B．C．D．6．如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于（）A．B．C．D．7．.若函数则的值为（）A.2B.3C.4D.58.如图过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为( )A．BC．D．9.若、、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．10.如图，三行三列的方阵中，从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1的概率是（）AB CD 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.在的展开式中，常数项为；（用数字作答）12.已知两个单位向量，的夹角为30°，，.若，则正实数=____________13.若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是____________14、已知等差数列中,,,则.15、2022年高考福建省理科数学第11题是：“双曲线（）的两个焦点为、，若为其上一点，且9\n，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B。若将其中的条件“”更换为“，且”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）16.（本小题满分13分）已知向量，，设函数．（1）求函数的单调增区间；（2）已知锐角的三个内角分别为若，，边，求边．17．（本小题满分13分）从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球.如果摸出白球，则另从袋外取一个红球替换该白球放回袋中，继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验.（Ⅰ）求一次摸球后结束试验的概率与两次摸球后结束试验的概率；（Ⅱ）记结束试验时的摸球次数为，求的分布列及其数学期望.18.（本小题满分13分）下图是一几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图。（I）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；（II）求证：BD//平面PEC；（III）求平面PEC与平面PCD所成的二面角（锐角）的大小。19.（本小题满分13分）设椭圆E:（a,b>0），短轴长为4，离心率为，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由。20.（本小题满分14分）已知函数．(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)若函数在处取得极值，且对,恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)当且时，试比较的大小．9\n21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M对应的变换T将点(2，－2)与(－4,2)分别变换成点(－2，－2)与(0，－4)．①求矩阵M；②设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝6，求l的方程．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的方程为，曲线的参数方程为（Ⅰ）将的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点为上的动点，为上的动点，求的最小值．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x+3|－|x－2|.①求不等式f(x)≥3的解集；②若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．草稿纸9\n长泰一中2022/2022学年上学期高三期末考数学（理科）试卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1.若集合，则中元素个数为（）A.6个B.4个C.2个D.0个答案B2．如果复数为纯虚数，那么实数的值为（）A．－2B．1C．2D．1或－2解析：即，故选择答案A3.在中，若,则的面积()A、B、C、D、解析：改编自2022福建理科高考12题，考查三角形的解法和面积公式，答案C4．下列命题中，真命题是（）A．B．C．D．解析：答案为D5.某程序框图如图所示，若程序运行后输出S的值是25，则图中判断框①处可填入的语句是（B）A．B．C．D．6．如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于（B）A．B．C．D．7．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( D )A．3B．1C．－1D．－38.如图过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为( )A． BC． D．【答案】B解析:如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴,求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．9.若、、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．解析：对于A，或异面，所以错误；对于B，与可能相交可能平行，所以错误；对于C，与还可能异面或相交，所以错误.故答案应选D10.如图，三行三列的方阵中，从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1的概率是9\n（）A B C D 选D﹒第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。11．12.已知两个单位向量，的夹角为30°，，.若，则正实数=____________解析：t=113.若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，a－b的值是____________解析：本题主要考查线性规划的应用，意在考查考生对基础知识的掌握．约束条件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x＝4，y＝4时，a＝zmax＝5×4－4＝16；当x＝8，y＝0时，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24.14、15、2022年高考福建省理科数学第11题是：“双曲线（）的两个焦点为、，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B。若将其中的条件“”更换为“，且”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是答案：三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）16.（本小题满分13分）已知向量，，设函数．（1）求函数的单调增区间；（2）已知锐角的三个内角分别为若，，边，求边．解：（1）．…………………………4分∵R，由得………6分∴函数的单调增区间为．……………………7分（2）∵，即，∵角为锐角，得，………9分又，∴，∴∵，由正弦定理得………13分本题由练习改编，考查向量的坐标运算，三角恒等变换，及正弦定理的应用。17.从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球.如果摸出白球，则另从袋外取一个红球替换该白球放回袋中，继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验.（Ⅰ）求一次摸球后结束试验的概率与两次摸球后结束试验的概率；（Ⅱ）记结束试验时的摸球次数为，求的分布列及其数学期望.9\n本题考查古典概型互斥事件和独立事件的概率，随机变量的分布列及数学期望等知识与方法；考查运算求解能力以及应用概率知识分析解决问题的能力；考查必然与或然思想。解：（Ⅰ）一次摸球结束试验的概率； ……………………3分二次摸球结束试验的概率； ……………………………………6分（Ⅱ）依题意得：的所有可能值有 ………………………………………7分，； …………………………………………………………9分；………………………………………………………11分1234∴。 9\n19.（本小题满分13分）设椭圆E:（a,b>0），短轴长为4，离心率为，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E:（a,b>0）,b=2,e=所以解得所以椭圆E的方程为………5分（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,………7分则△=,即②,9\n要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,………11分此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.………13分20.（本小题满分14分）已知函数．(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)若函数在处取得极值，且对,恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)当且时，试比较的大小．解：(Ⅰ)，当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．………4分(Ⅱ)∵函数在处取得极值，∴，∴，令，可得在上递减，在上递增，∴，即．………9分(Ⅲ)解：令，由(Ⅱ)可知在上单调递减，则在上单调递减∴当时，>，即．当时，∴，当时，∴ ………14分 21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M对应的变换T将点(2，－2)与(－4,2)分别变换成点(－2，－2)与(0，－4)．①求矩阵M；②设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝6，求l的方程．解 (1)设M＝，所以，且，9\n解得，所以M＝.………4分(2)因为＝＝且m：x′－y′＝6，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝6，即x＋y＋3＝0，∴直线l的方程是x＋y＋3＝0………7分（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的方程为，曲线的参数方程为（Ⅰ）将的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点为上的动点，为上的动点，求的最小值．解：（Ⅰ）由已知得，即………3分（Ⅱ）由得，所以圆心为，半径为1．又圆心到直线的距离为,…………………5分所以的最大值为．…………………………7分（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x+3|－|x－2|.①求不等式f(x)≥3的解集；②若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．解：(1)[1,+)………3分(2)|a－4|≤5∴-1≤a≤9………7分9
