西藏拉萨中学2022届高三数学上学期第三次月考试题理（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( )A．{－1，0}B．{0，1}C．{－1，0，1}D．{0，1，2}2．已知复数，则＝( )A.B.C．2D．13．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且满足a4a6＝，a7＝，则S4的值为( )A．15B．14C．12D．84．已知a，b为平面向量，且a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )A.B．－C.D．－5．已知是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则＝( )A.1＋B.－1+C．－1－D．1－6．若变量x，y满足约束条件，则z＝3x－y的最小值为( )A．－7B．－1C．1D．27．在△ABC中，||＝||＝3，∠ABC＝60°，AD是边BC上的高，则·的值等于( )A．－B.C.D．98．设，在上是增函数，则是的( )A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )A.B.C.D.10．已知函数f(x)＝sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x-10-\n)的图象，下列关于y＝g(x)的说法正确的是( )A．图象关于点中心对称B．图象关于轴对称C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减11．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A．B．C．2D．512．设函数，，若函数仅有两个零点，则实数k的取值范围是( )A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，把答案填在答题卡中横线上）13．已知，，则________．14．由曲线与直线围成的封闭图形的面积为________．15．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．16．已知函数的图象在轴上的截距为，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为和．若，则的值域为________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求cosA的值；（2）若a＝2，cosB＋cosC＝，求边c．-10-\n18．（本小题满分12分）第十三届全运会将在2022年8月在天津举行，组委会在2022年1月对参加接待服务的10名宾馆经理进行为期半月的培训，培训结束，组织了一次培训结业测试，10人考试成绩如下（满分为100分）：75846590889578859882(Ⅰ)以成绩的十位为茎个位为叶作出本次结业成绩的茎叶图，并计算平均成绩与成绩中位数；(Ⅱ)从本次结业成绩在80分以上的人员中选3人，这3人中成绩在90分（含90分）以上的人数为，求的分布列与数学期望。19．（本小题满分12分）设．（1）求的单调区间；（2）在锐角△中，角的对边分别为，若，求△面积的最大值．20．（本小题满分12分）椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且短轴长与长轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数，常数．（1）当x＝1时，函数f(x)取得极小值－2，求函数f(x)的极大值；（2）设定义在D上的函数y＝h(x)在点P(x0，h(x0))处的切线方程为l：y＝g(x)，当x≠x0时，若>0在D内恒成立，则称点P为h(x)的“类优点”．若点(1，f(1))是函数f(x)的“类优点”，求实数a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴的正半轴重合，曲线的极坐标方程为-10-\n，直线的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，M为不等式f(x)＜4的解集.（1）求M；（2）证明：当a,bM时，2∣a+b∣＜∣4+ab∣．-10-\n拉萨中学2022届高三第三次月考理科数学参考答案一、选择题（5×12=60分）题号123456789101112答案ADACDACBCCDD二、填空题（5×4=20分）13、；14、；15、；16、.三、解答题（6小题共70分）17（12分）解： (1)由正弦定理及3acosA＝ccosB＋bcosC得3sinAcosA＝sinCcosB＋sinBcosC＝sin(B＋C)∵B＋C＝π－A，∴3sinAcosA＝sinA.又sinA>0，从而cosA＝；(2)∵A∈(0，π)，cosA＝，∴sinA＝，又∵cosB＋cosC＝，∴cos[π－(A＋C)]＋cosC＝，整理得cosC＋sinC＝.①又sin2C＋cos2C＝1，②由①，②联立，得sinC＝，由＝，得c＝＝＝3.6789558245805818（12分）解：（1）茎叶图如右：平均成绩为：中位数为：；（2）由题意可知的可能取值为：0,1,2,3，则-10-\n，，，．故的分布列为：0123．19（12分）解：(1)f(x)＝sin2x－＝sin2x－＋sin2x＝sin2x－.由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.由2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是．(2)由＝sinA－＝0，得sinA＝，由题意知A为锐角，所以cosA＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为.-10-\n20（12分）解： (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由焦点F(－2，0)知c＝2.∴a2＝4＋b2，①又＝，②联立①，②得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故.由点M(m，0)在椭圆的长轴上，则①由＝(x－m，y)，所以||2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2.∵当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点．∴当x＝4时，||2取得最小值．由于x∈[－4，4]，故4m≥4，则m≥1，②由①，②知，实数m的取值范围是[1，4]．21（12分）解 (1)依题意，f(1)＝1－(a＋2)＝－2，得a＝1，此时f′(x)＝2x－3＋＝(x>0)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝，当0<x<或x>1时，f′(x)>0；当<x<1时，f′(x)<0.所以f(x)在及(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，因此，当x＝时，f(x)有极大值－＋ln.(2)由f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx(x>0)，-10-\n得f′(x)＝2x－(a＋2)＋＝，∴f′(1)＝0，且f(1)＝－a－1．所以f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为g(x)＝－a－1．∵点(1，f(1))是函数f(x)在(0，＋∞)内的“类优点”，令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx＋a＋1，常数a>0，则当x∈(0，1)∪(1，＋∞)时，恒有>0(*)又F(1)＝0，且F′(x)＝2x－(a＋2)＋＝(x>0)．令F′(x)＝0，得x＝1或x＝(a>0)．①当a＝2时，F′(x)0，F(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<x<1时，F(x)<F(1)＝0；当x>1时，F(x)>F(1)＝0.从而当x≠1时，恒有>0成立．②当a>2时，由F′(x)<0，得1<x<，∴函数F(x)在上是减函数，F(x)<F(1)＝0，∴1<x<时，>0不成立．③当0<a<2时，由F′(x)<0，得<x<1，∴函数F(x)在上是减函数，∴x时，F(x)>F(1)＝0，>0不成立．综上可知，若点(1，f(1))是函数f(x)的“类优点”，则实数a＝2．22（10分）解：（1），，，即；-10-\n，两式相比得，即；（2）将代入，消去得，设两交点为，则，故所求为．（法二）将代入，得，，，故．23（10分）解：（1）f(x)＜4，或或，或或，或，或，，；（2）证明：2∣a+b∣＜∣4+ab∣，，成立，-10-\n故2∣a+b∣＜∣4+ab∣．-10-
