2022—2022学年度第一学期第三次月考高二年级数学(理科)试卷一、选择题1.已知空间直角坐标系中A（1，1，0）且AB=（4，0，2），则B点坐标为（）A．（9，1，4）B．（9，-1，-4）C．（8，-1，-4）D．（8，1，4）2.正四棱锥S－ABCD的底面边长为4，高SE＝8，则过点A，B，C，D，S的球的半径为()A．3B．4C．5D．63.过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则().A．B．1C．2D.4.已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：①若∥，则平行于内的所有直线；②若，且⊥，则⊥；③若，，则⊥；④若，且∥，则∥；其中正确命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知直线ax+y+2=0及两点P（-2，1）、Q（3，2），若直线与线段PQ相交，则a的取值范围是（）A．a≤-或a≥B．a≤-或a≥C．—≤a≤D．—≤a≤6.下列说法正确的有（）个①“”是“θ=30°”的充分不必要条件②若命题p：∃x∈R，x2-x+1=0，则¬p：∀x∈R，x2-11-\n-x+1≠0③命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”④已知a，b∈R+，若log3a＞log3b，则．A．0B．1C．2D．37.已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )A．B．C．D．18.设A：，若B是A成立的必要不充分条件，则m的取值范围是（）A．m＜lB．m≤1C．m≥1D．m＞19.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（）A．B．C．D．10.下面说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”B．实数x＞y是成立的充要条件C．设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”也为假命题D．命题“若x2-3x+2=0则x=1”的逆否命题为假命题11.已知命题p：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x+m•2x+1=0”．若命题¬p是假命题，则实数m的取值范围是（）A．-2≤m≤2B．m≥2C．m≤-2D．m≤-2或m≥212.如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段-11-\n上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．则以为边的平行四边形的面积为________．14.已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为________．15.已知两点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2）点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，Q点的坐标 ．16.如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，若二面角A-BD-E与二面角E-BD-C′的大小分别为15°和30°，则= ．-11-\n三、解答题17.如图，在三棱锥中，，平面，,分别为,的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.18.命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数在（0，+∞）上是增函数，若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．19.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，AA1=2，点O是B1C与BC1的交点．（1）求AO的距离；（2）求异面直线AO与BC所成的角的余弦值；-11-\n20.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0．（1）若为圆C上任意一点，求的最大值与最小值；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求当|PM|最小时的点P的坐标。21.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′(如图)．-11-\n(1)求证：AC⊥平面ABC′；(2)求证：C′N∥平面ADD′；(3)求二面角A-C′N-C的余弦值．22.已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D。F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．-11-\n2022-2022学年度第三次月考参考答案（理科）一、选择题ACCAADCDBDCB13.14.215.（）16.17.（1）在中，分别为的中点又平面，平面平面（2）由条件，平面，平面，即，由，，又，都在平面内平面又平面平面平面18.解：若命题p为真命题，则△=4a2-16＜0，解得-2＜a＜2；若命题q为真命题，则3-2a＞1，解得a＜1∵p∨q为真，p∧q为假．∴p与q一真一假即，或解得a≤-2，或1≤a＜2∴实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[-1，2）19.解：设（1）=-11-\n所以（2）由（1），，，所以，，，20．解：（1）设，则表示直线MA的斜率；其中A（1，-2）是定点；因为在圆C上，所以圆C与直线MA有公共点，而直线MA方程为：y+2=(x-1)，则有：C点到直线MA的距离不大于圆C的半径即：，解得：，即的最大值为-1，最小值为-7．（2）由圆的切线长公式得|PM|2=|PC|2-R2=（x+1）2+（y-2）2-2;由|PM|=|PO|得：（x+1）2+（y-2）2-2=x2+y2;即2x-4y+3=0，即x=2y-此时|PM|=|PO|=所以当y=即P（）时，|PM|最小．21.(1)证明 ∵AD＝BC，N是BC的中点，∴AD＝NC，又AD∥BC，∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，∴AB＝BN＝AD，∴四边形ANCD是菱形，∴∠ACB＝∠DCB＝30°，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，平面C′BA∩平面ABC＝AB，-11-\n∴AC⊥平面ABC′.(2)证明:∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N⊂平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′.(3)解:∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC.如图建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B(1,0,0)，C(0，，0)，C′(0,0，)，N，∴′＝(－1,0，)，′＝(0，－，)，设平面C′NC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝1，则x＝，y＝1，∴n＝(，1,1)．∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD与AN交于点O，O则为AN的中点，O，∴平面C′AN的法向量＝.∴cos〈n，〉＝＝，由图形可知二面角AC′NC为钝角，所以二面角AC′NC的余弦值为－22.解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），则由-11-\n，得λ（x2+y2）=（x-3）2+y2，整理得：（λ-1）x2+（λ-1）y2+6x-9=0．∵λ＞0，∴当λ=1时，则方程可化为：2x-3=0，故方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；当λ≠1时，则方程可化为，即方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆。（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x-3=0，故曲线D表示圆，圆心是D（-1，0），半径是2．解法一：设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．即．于是顶点Q到动直线FG的距离为定值，即动直线FG与定圆（x+3）2+y2=1相切．②解法二：设F，G两点的坐标分别为F（x1，y1），G（x2，y2），则由|QF|•|QG|=4有：，结合有：，若经过F、G两点的直线的斜率存在，设直线FG的方程为y=mx+n，由，消去y有：（1+m2）x2+（2mn+2）x+n2-3=0，则，，所以，由此可得8m2-6mn+n2=1，也即（3m-n）2=1+m2，假设存在定圆（x-a）2+（y-b）2=r2，总与直线FG相切，-11-\n则是定值r，即d与m，n无关，与对比，有，此时，故存在定圆（x+3）2+y2=1，当直线FG的斜率不存在时，x1=x2=-2，直线FG的方程是x=-2，显然和圆相切．故直线FG能恒切于一个定圆（x+3）2+y2=1。-11-
