2022-2022学年上学期竞赛试卷高二数学(文科)试卷总分：150分时间：120分钟一.选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合，，则（）A.B.C.D.2．下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是A.B.C.D.3．若，则则的值等于（）A.B.C.D.4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为A.钱B.钱C.钱D.钱5．若的内角满足，则（）A.B.C.D.6．已知实数的大小关系为（）A.B.C.D.7．设是等比数列的前项和，，则的值为（）-7-\nA.B.C.或D.8．若把函数的图象向右平移个单位后所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（）A.B.C.D.9．三棱锥及其正视图和侧视图如下图所示，且顶点均在球的表面上，则球的表面积为（）A．B．C．D．10．下列命题中,正确命题的个数为（）①若,则或”的逆否命题为“若且,则；②函数的零点所在区间是；③是的必要不充分条件A．B．C．D.11．若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是( )A.B.C.D.12．已知平面平面，，点，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A.B.C.D.二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）-7-\n13．已知实数，满足则的最小值为_______14．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________15．已知实数成等差数列，且公差为；成等比数列，且的最小值为16．在中，已知，若点满足，且，则实数的值为______________三、解答题（本题共6题，共70分）17．（本小题10分）已知函数．（1）求的值；（2）求在区间上的最大值和最小值．18．（本小题12分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．19．（本小题12分）如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，为-7-\n上任意一点．（1）证明：平面平面；（2）试确定点的位置，使得四棱锥的体积等于三棱锥体积的4倍．20．（本小题12分）数列满足.（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；（2）已知符号函数设，求数列的前项和.21．（本小题12分）漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少立方米，且每立方米液体费用元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为立方米时，支付的保险费用为元.（1）求该博物馆支付总费用与保护罩容积之间的函数关系式；（2）求该博物馆支付总费用的最小值.22．（本小题12分）已知圆．（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程．（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得取得最小值的点的坐标．-7-\n答案：1.B2.B3.C4.B5.D6.B7.C8.A9．A10.C11．A12.A13.-5；14.；15.6；16.1或17.（Ⅰ）因为（Ⅱ）因为，所以所以故当即时，有最大值当即时，有最小值18.解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，可化为①或②或③，…解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜，综合得原不等式的解集为{x|-}．（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．19.（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，又∵底面为菱形，∴，，平面，平面，∴平面，-7-\n又平面，∴平面平面．（Ⅱ）若四棱锥的体积被平面分成两部分，则三棱锥的体积是整个四棱锥体积的，设三棱锥的高为，底面的面积为，则，由此得，故此时为的中点．20（Ⅰ）因为，所以，所以数列是公比为，首项为的等比数列.故，即.（Ⅱ）数列的前项和.21.解：（Ⅰ）由题意设支付的保险费用，把，代入，得.则有支付的保险费用（）故总费用，（）（Ⅱ）因为当且仅当且，即立方米时不等式取等号，所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元.22.解：（1）圆，所以圆心．①切线过原点，由题知，此时切线斜率必定存在，设．则，解得或．②切线不过原点，设，则，解得或．综上所述：切线方程为-7-\n或或．（2）因为，且，即，整理得，则，所以．当时，，此时．综上所述为时，最小，最小值为．-7-
