2022-2022学年上学期竞赛试卷高三数学（文）总分：150分时间：120分钟第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合）1．已知集合，，则=()A.B.C.D.2.若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值是（）A.-3B.-3或1C.3或-1D.13.在中，已知向量,则=（）A.B.C.D.4.直线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.5.实数，，满足，若恒成立，则实数的取值范围（）A.B.C.D.6．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）A．3B．5C．7D．107.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A．B．C．D．-11-\n8.已知斜三棱柱的体积为，在斜三棱柱内任取一点，则三棱锥的体积大于的概率为（）A.B.C.D.9.已知p：函数在上是减函数。q：恒成立，则是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像，只需将的图像（）A．向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位11.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（ ）A．1B．C．D．12.设函数是函数（）的导函数，，函数的零点为1和-2，则不等式的解集为()A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在中，分别表示角A,B,C的对边，若，则的值是____________14.设双曲线的左右焦点分别是,过的直线交双曲线左支于两点，则的最小值为__________15．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：-11-\n（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是 ．16．对函数满足，设，数列的前15项和为，则=_________三、解答题：（本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中，角A的对边长等于2，向量,向量.（1）求取得最大值时的角A；（2）在（1）的条件下，求面积的最大值。18．（12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）．（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？幸福感强幸福感弱总计留守儿童 非留守儿童 总计 （2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．参考公式：．附表：P（K2≥k0）0.0500.010k03.8416.635-11-\n19.如图，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中点，.（1）求证：平面；（2）求到平面的距离.20．已知椭圆（）的焦距2，且过点，其长轴的左右两个端点分别为，，直线交椭圆于两点，.（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线，的斜率分别为，，若求的值.21.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程-11-\n已知曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，曲线C2的参数方程为（α为参数），将曲线C2上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C3．（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C3的普通方程；（2）已知点P（0，2），曲线C1与曲线C3相交于A，B，求|PA|+|PB|． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，（1）若关于x的不等式f（x）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围． -11-\n答案一．BDDBACCBAABB二．13.14.1115.跑步16.三．17.（1）A=（2）18．解：（1）根据题意，填写2×2列联表如下：幸福感强幸福感弱总计留守儿童6915非留守儿童18725总计241640计算，对照临界值表得，有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；…（6分）（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：a1，a2；幸福感强的孩子3人，记作：b1，b2，b3；“抽取2人”包含的基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个；…（8分）事件A：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3）共6个；…（10分）故所求的概率为．…（12分）19：（1）连接交于O，连接OD，在中，O为中点，D为BC中点3分6分-11-\n（2）解法一：设点到平面的距离为h在中，为8分过D作于H又为直棱柱且10分即解得12分解法二：由①可知点到平面的距离等于点C到平面的距离8分为10分设点C到面的距离为h-11-\n即解得12分20．解：（1）由题意得：，解得，，，椭圆由题意标准方程为.（2），，联立方程，得，由得：,，由题意知，,，，，即，得①,又，，同理,代入①式，解得,即，解得或，又，(舍去),.21.解：（I）当p=2时，函数，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，-11-\n曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2．从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）即y=2x﹣2．（II）．令h（x）=px2﹣2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．（III）∵在[1，e]上是减函数，∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，即g（x）∈[2，2e]，当p＜0时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，且h（0）＜0，所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；当0＜p＜1时，由，所以．又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，∴，不合题意；当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，而，g（x）min-11-\n=2，即，解得综上所述，实数p的取值范围是．选修4-4：极坐标系与参数方程]22．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，可得普通方程为x﹣y+2=0，，由曲线C2的参数方程为（α为参数），可得，即有C3的普通方程为x2+y2=9．…（2）C1的标准参数方程为（t为参数），与C3联立可得t2+2t﹣5=0，令|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，由韦达定理，则有t1+t2=﹣2，t1t2=﹣5，则|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===2…（10分）． 选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，（1）若关于x的不等式f（x）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围．解：（1）因为f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，所以|1﹣3a|＜4，即，所以实数a的取值范围为．…（2）△=32﹣4（|2m+1|+|2m﹣3|）≥0，-11-\n即|2m+1|+|2m﹣3|≤8，所以不等式等价于或或所以，或，或，所以实数m的取值范围是．…（10分）-11-
