2022—2022学年上学期竞赛试卷高二数学（理科）试卷总分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1、设集合，若，则（）A．B.C.D.2、设，则“是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C．D.4、将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）A.B.C.D.5、设点是所在平面内一点，且，则等于（）A.B.C.D.6．设，若是的等比中项，则的最小值为（）A.8B.C.4D.17、若，则（）A.B.C.1D.-6-\n8、下面程序执行后输出的结果是（）A.4B.C.D.9、在棱长为的正方体中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为 ( )A.B.C.D.10、若偶函数在上单调递增，，则满足（）A.B.C.D.11、已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是（）ABC.D.12、数列满足，则数列的前60项和为（）A3690B3660C1845D1830二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、已知是夹角为的两个单位向量，，，若，则的值为。-6-\n14、已知实数满足，则的最小值为_______________。15、在中，内角的对边分别为，且满足，则的取值范围为______________。16、已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是______________。三、解答题（共70分）17、（本小题12分）已知.（1）求的单调递增区间；（2）在中，，，若的最大值为，求的面积.18、（本小题10分）已知函数，.（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围。19、（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面，已知AE=DE=2，为线段的中点．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积．-6-\n20、（本小题12分）数列的前项和为，已知，，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和。21、（本小题12分）已知函数（1）判断函数的奇偶性并给出证明；（2）对于，恒成立，求实数的取值范围。22、（本小题12分）已知圆C：，一动直线过A(－1，0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，直线与直线：相交于N.(1)求证：当与垂直时，必过圆心C；(2)当PQ＝2时，求直线的方程；(3)探索·是否与直线的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．-6-\n高二数学（理科）竞赛答案选择题：CDBBA、CDAAC、BD填空题：13、14、15、16、17、试题解析：（1），当时，得∴的单调递增区间为，（2）∵，由正弦定理得，∵的最大值为∴，∴，又∴在中，由余弦定理得:∴∴的面积18、(1)(2)19、1）连结BD和AC交于，连结，ABCD为正方形，为中点，为中点，，平面，平面ACF平面．（2）四棱锥的体积20、（1）（2）-6-\n21、（1）奇函数（2）22、(1)证明：∵l与m垂直，且km＝－，∴kl＝3.又kAC＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C.(2)解：①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因为PQ＝2，所以CM＝＝1，则由CM＝＝1，得k＝，∴直线l：4x－3y＋4＝0.从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.(3)解：∵CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.①当l与x轴垂直时，易得N，则＝.又＝(1，3)，∴·＝·＝－5；②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由得N，则＝.∴·＝·＝＝－5.综上，·与直线l的斜率无关，且·＝－5.另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知AC⊥m，又CM⊥l，∴四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得·＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.-6-
