2022-2022学年上学期竞赛试卷高三数学（理）总分：150分时间：120分钟第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合）1.设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.设集合A=，B=，则A∩B等于（ ）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}3.下列命题错误的是（ ）A．命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则lgx≠0”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．命题：∃x0∈R，使得sinx0＞1，则“∀x∈R，均有sinx≤1D．“x＞2”是“＜”的充分不必要条件4.若表示不超过的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A．4B．5C．7D．95.若，则（ ）A．B．C．﹣D．﹣6.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A．B．C．D.7.已知是内的一点，且，，若，-11-\n的面积分别为，则的最小值是（）A．9B．16C．18D．208.若函数，又，且的最小值为，则正数ω的值是（ ）A．B．C．D．9.现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问不同的分法有（）A．36种B.9种C.18种D.15种10.已知是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为()A．B．C．2D．311.已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，等式恒成立，则的取值范围是（ ）A．[2﹣，3]B．[1，2+]C．[2﹣，2+]D．[1，3]12.已知定义在上的函数的导函数满足，且，其中为自然对数的底数，则不等式的解集是（ ）A.B.C.D.第II卷（非选择题共90分）二.填空题（每小题5分，共20分）13.设，则展开式的常数项为 ．14.设的内角所对边的长分别为，若，则角= ．15.过抛物线-11-\n的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为16.给出定义：若，则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个结论：①函数的定义域为，值域为；②函数的图像关于直线对称；③函数是偶函数；④函数在上是增函数。其中正确结论的序号是。（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知等差数列{an}的首项，公差，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在最大的整数，使得对任意的均有总成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由．18.（本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据如表所示：试销价格x（元）45679产品销量y（件）8483807568已知变量具有线性负相关关系，且，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出的值；-11-\n（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）如图，边长为3的正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小．20.（本小题满分12分）已知椭圆,是椭圆的焦点,是椭圆上一点，且；（1）求的离心率并求出的方程；（2）为椭圆上任意一点，直线交椭圆于点，直线交椭圆于点，设直线的斜率为，直线的斜率为；（i）求证:;（ii）求的取值范围．-11-\n21.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．请考生在22、23、题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，曲线C2的参数方程为（α为参数），将曲线C2上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C3．（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C3的普通方程；（2）已知点P（0，2），曲线C1与曲线C3相交于A，B，求|PA|+|PB|． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，（1）若关于x的不等式f（x）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围．-11-\n1-5DCBCD6-10ACBBC11-12AB13.-16014.15.16.①②③17.解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，…（2分）整理得2a1d=d2．∵a1=1，解得（d=0舍），d=2．…（4分）∴an=2n﹣1（n∈N*）．…（6分）（2），∴=．…假设存在整数总成立．又，∴数列{Sn}是单调递增的．…（12分）∴．又∵t∈N*，∴适合条件的t的最大值为8．…18.解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，且xi=39，4+5+6+7+a+9=39，a=8，yi=480，b+84+83+80+75+68=480，b=90，∵=6.5，=80，将，，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：y=﹣4x+106；（2）X456789y908483807568y928884807672“理想数据“的个数ξ取值为：0，1，2，3；-11-\nP（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．“理想数据“的个数ξ的分布列：X0123P=数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1.5．19.证明：（Ⅰ）过M作MF∥DC交CE于F，连接MF，BF．因为MF∥DC，，所以．…（2分）又，所以．故，…（4分）所以四边形NBFM为平行四边形，故MN∥BF，而BF⊆平面BEC，MN⊄平面BEC，所以MN∥平面BEC；…（6分）解：（Ⅱ）以A为坐标原点，所在方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，直角坐标系，则E（3，0，0），N（0，1，0），M（1，0，2），C（0，3，3），=（2，0，﹣2），=（﹣1，3，1），=（﹣2，0，2），=（﹣3，1，0），设平面MEC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得，设平面MNE的法向量为，则，即，取x1=1，得，，所求二面角的大小为…（12分）20.解：（1）解：椭圆C4的方程为：=4，即：=1．-11-\n不妨设c2=a2﹣b2则F2（2c，0）．∵⋅=0，∴⊥．于是2c=2，==，2b4=a2=b2+1，∴2b4﹣b2﹣1=0，（2b2+1）（b2﹣1）=0，∴b2=1，a2=2．∴椭圆Cn的方程为：+y2=n．∴e2==，∴e=．椭圆C1的方程为：+y2=1．（2）（i）证明：椭圆C2的方程为：+y2=2即：+=1．椭圆C4的方程为：+y2=4即：=1．∴F1（﹣2，0），F2（2，0），设P（x0，y0），∵P在椭圆C2上，∴=1，即y02=（4﹣x02）．∴k1k2=•===﹣．（ii）设直线PF1的方程为：y=k1（x+2）直线PF2的方程为：y=k2（x﹣2），联立方程组：消元整理得：（2k12+1）x2+8k1x+8k12﹣8=0…①设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=．∴|EF|==．同理：|MN|=．-11-\n∴|EF|⋅|MN|=•=32×=32×==16+≤18，又|EF|⋅|MN|＞0．∴|EF|⋅|MN|∈（16，18]．21.解：（I）当p=2时，函数，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2．从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）即y=2x﹣2．（II）．令h（x）=px2﹣2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．（III）∵在[1，e]上是减函数，∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，即g（x）∈[2，2e]，当p＜0时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，且h（0）＜0，所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．-11-\n∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；当0＜p＜1时，由，所以．又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，∴，不合题意；当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，而，g（x）min=2，即，解得综上所述，实数p的取值范围是．22．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，可得普通方程为x﹣y+2=0，由曲线C2的参数方程为（α为参数），可得，即有C3的普通方程为x2+y2=9．…（2）C1的标准参数方程为（t为参数），与C3联立可得t2+2t﹣5=0，令|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，由韦达定理，则有t1+t2=﹣2，t1t2=﹣5，则|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===2…（10分）．选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，（1）若关于x的不等式f（x）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围．解：（1）因为f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，所以|1﹣3a|＜4，即，-11-\n所以实数a的取值范围为．…（2）△=32﹣4（|2m+1|+|2m﹣3|）≥0，即|2m+1|+|2m﹣3|≤8，所以不等式等价于或或所以，或，或，所以实数m的取值范围是．…（10分）-11-
