重庆市大学城第一中学校高二数学上学期期中试题文

重庆市大学城第一中学校2022-2022学年高二数学上学期期中试题文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线的倾斜角为（　　）A．150°B．120°C．60°D．30°1．已知过点和的直线与直线平行，则的值为2．已知直线和平面，若，则过点且平行于的直线（）A．只有一条，不在平面内B．只有一条，且在平面内C．有无数条，一定在平面内D．有无数条，不一定在平面内3．已知过点和的直线与直线平行，则的值为4．如图所示的是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为A．20πB．24πC．28πD．32π5．已知直线过点，且与直线互相垂直，则直线的方程为（）A．B．C．D．6．已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值是（）A．B．－1C．2或1D．17．设是两条不同的直线,为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是A．B．C．D．8．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为　　-14-\nA．B．C．3D．9．如图所示，是长方体，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（）A．三点共线B．不共面C．不共面D．共面10．已知直线是圆的对称轴,过点作圆的一条切线,切点为,则＝A．2B．C．6D．11．若动点分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是(　）A．B．C．D．12．已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是(　　)A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。13．已知直线与直线平行，则的值为__________．14．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．则圆-14-\n的方程为___________15．若圆过坐标原点，则圆的半径为________．16．在三棱锥中，底面为正三角形，各侧棱长相等，点分别是棱的中点，且，则_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）（1）求过点且与两坐标轴上的截距之和为的直线方程；（2）求过点且与原点距离为的直线方程．18．（本小题满分12分）已知圆心在轴上的圆与轴交于两点，(1)求此圆的标准方程；(2)设为圆上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值．19．（本小题满分12分）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，,，其中分别是的中点，是上的一个动点．(1)当点落在什么位置时，，证明你的结论；(2)求三棱锥的体积．20．（本小题满分12分）-14-\n如图所示，在四棱锥中，，.（1）求证：；（2）当几何体的体积等于时，求四棱锥的侧面积21．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧面，,,且,为中点．（1）证明：；（2）直线与平面所成角的正弦值.22.已知过点，且斜率为的直线与圆相交于两点.（1）求实数的取值范围；（2）求证：为定值；参考答案1．A【解析】【分析】现求出直线的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可.【详解】设倾斜角为，因为直线的斜率为，-14-\n所以，所以，故选A.2．B【解析】【分析】假设m是过点P且平行于l的直线，n也是过点P且平行于l的直线，则与平行公理得出的结论矛盾，进而得出答案.【详解】假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，则m∥l且n∥l由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，故过点且平行于的直线只有一条，又因为点P在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．故选：B【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．3．D【解析】【分析】根据直线的斜率计算公式求出AB的斜率，求出直线斜率，由二者平行得，它们的斜率相等，解方程可得结果。【详解】因为直线的斜率等于，且过点和的直线与直线平行，所以,所以，解得，故选D．【点睛】在直线斜率存在的前提下，两条直线平行则二直线的斜率必相等。在根据位置关系求参数时，要注意二点：（1）必要时要讨论直线斜率不存在的情况；（2）验证所求结果是否会使二直线重合。.4．C【解析】【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．【详解】由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，-14-\n∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．【点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5．C【解析】【分析】根据题意设出直线的方程，把点代入方程求出直线l的方程．【详解】根据直线过点，且与直线互相垂直，，设直线为，把点代入方程，，解得，∴直线的方程为．故选：c．6．D【解析】【分析】当时，直线方程为，显然不符合题意，所以当时，分别令，求出直线在坐标轴上的截距，根据截距相等列出方程，即可求解.【详解】当时，直线方程为，显然不符合题意，当时，令时，得到直线在轴上的截距是，令时，得到直线在轴上的截距为，根据题意得，解得或，故选D.【点睛】本题主要考查了直线方程的应用及直线在坐标轴上的截距的应用，其中正确理解直线在坐标轴的截距的概念，利用直线方程求得直线的截距是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分类讨论的数学思想.7．D8．B-14-\n【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，从而可得答案．【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，底面面积S=2×2=4，高h=2，故体积V=Sh=，故选：B．【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9．A【解析】【分析】根据两平面公共点必在两平面交线上，即得结论.【详解】因为M在上，在平面内，所以M在平面内，又因为M在平面内，所以M在平面与平面的交线AO上，即三点共线，因此共面且共面，因为平面与平面的交线为共面，选A.【点睛】本题考查公理2，考查基本分析判断能力.10．C【解析】【分析】根据直线过圆心，即可求出a,利用平面圆的性质，即可求解.【详解】由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.【点睛】-14-\n本题主要考查了圆的方程，圆的平面几何性质，属于中档题.11．A【解析】【分析】先确定的中点轨迹，再根据点到直线距离公式求最小值.【详解】因为,所以的中点轨迹为直线：，，因此到原点的距离的最小值是，选A.【点睛】本题考查点到直线距离公式，考查基本求解能力.12．B【解析】【分析】由曲线表示一个半圆，直线表示平行于的直线，作出图象，利用数形结合思想，即可求解.【详解】根据题意，可得曲线表示一个半圆，直线表示平行于的直线，其中表示在轴上的截距，作出图象，如图所示，从图中可知之间的平行线与圆有两个交点，在轴上的截距分别为，所以实数的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中作出曲线的图象和明确直线表示平行于的直线，其中表示在轴上的截距，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，属于中档试题.13．或-14-\n【解析】若直线与直线平行，则，且，解得：或．14．【解析】【分析】设圆心的坐标为，根据直线相切于点，可求得圆心坐标，进而求得圆的半径，得到圆的方程.【详解】由题意，圆的圆心在直线上，可设圆心的坐标为，又由与直线相切于点，则，解集，解得，即圆心坐标为，所以圆的半径为,所以圆的方程为.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据题意，得出，根据斜率的关系求得圆心坐标是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.15．【解析】【分析】先将原点坐标代入圆方程解得m,再根据圆标准方程求半径.【详解】因为圆过坐标原点，所以，所以当时圆，为一个点，舍去；-14-\n当时圆,即，半径为.【点睛】本题考查圆标准方程，考查基本求解能力.16．【解析】由题意，又，所以平面，所以，所以。点睛：本题考查立体几何的垂直关系。由图形的对称性可知，，由平行传递性可知，，所以有平面，由线面垂直的性质定理可知，，得到答案。17．（1）；（2）或．【解析】【分析】(1)由题意可设直线方程为，代入点的坐标，求得的值，即可得到答案；（2）当直线的斜率为不存在时，满足题意；当直线的斜率为存在时，设直线方程为：，根据点到直线的距离公式，即可求解.【详解】(1)由题意可设直线方程为：代入点，即解得：所以直线方程为：（2）当直线的斜率为不存在时：，满足题意；当直线的斜率为存在时，设直线方程为：，即：，所以解得：，所以直线方程为：综上，直线方程为：或【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中根据题意设出所求直线的方程，代入求解是解答的关键，同时注意分类讨论的应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力.18．（1）；（2）最大距离为，最小距离为【解析】【分析】-14-\n（1）圆心在轴，因此就是圆的直径，由此得圆心坐标和圆的半径；（2）求出圆心到直线的距离，是最大值，是最小值．【详解】(1)由已知，得C(3,0)，r＝＝2，∴所求方程为(x－3)2＋y2＝4.(2)圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2.∴P到直线的最大距离为2＋2，最小距离为2－2.【点睛】设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线距离的最大值为，最小值为（直线与圆相离时，否则最小值为0）．19．（1）当点为的中点时，∥平面。证明见解析；（2）。【解析】【分析】（1）当点P为SD的中点时，AP∥平面SMC，证明如下：连接PN，证明PN∥DC且，推出AM∥DC且，得到AP∥MN然后证明AP∥平面SMC．（2）求出点N到平面ABCD的距离为h=1，然后求解三棱锥B﹣NMC的体积．【详解】(1)当点为的中点时，∥平面。证明如下：由三视图知该多面体是四棱锥，其底面边长为的正方形，侧棱底面，且．连接，∵分别是的中点，∴∥且，又是正方形的边的中点，∴∥且，∴∥且，即四边形是平行四边形，∴∥，又平面，平面，∴∥平面．(2)∵点到平面的距离为，∴点到平面的距离为，∵三棱锥的体积满足：.【点睛】本题考查直线与平面平行以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（1）证明见解析；（2）.-14-\n【解析】【分析】（1）连结BD，取CD的中点F，连结BF，证明BC⊥BD，BC⊥DE，即可证明BC⊥平面BDE，推出BC⊥BE．（2）利用体积求出DE=2，然后求解EA，通过就是BE2=AB2+AE2，证明AB⊥AE，然后求解四棱锥E﹣ABCD的侧面积．【详解】（1）连结BD，取CD的中点F，连结BF，则直角梯形ABCD中，BF⊥CD，BF=CF=DF，∴∠CBD=90°即：BC⊥BD∵DE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴BC⊥DE又BD∩DE=D∴BC⊥平面BDE由BE⊂平面BDE得：BC⊥BE（2）∵，∴DE=2∴，，又AB=2，∴BE2=AB2+AE2∴AB⊥AE∴四棱锥E﹣ABCD的侧面积为【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积以及侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的特征以及面面垂直的性质，证得结果；（2）鉴于线面角的平面角不易作出，建立空间直角坐标系，应用空间向量来解决.【详解】（1）证明：因为，且O为AC的中点，所以又由题意可知，平面-14-\n平面，交线为，平面，所以平面（2）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知，又;．所以得:则有：设平面的一个法向量为，则有，令，得所以因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的性质，面面垂直的判定以及线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，需要熟练应用空间向量解决问题.22．（(1)；(2)见解析.【解析】【分析】(1)由题意可得，直线的斜率存在，用点斜式求得直线的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得的值，可得满足条件的的范围；(2)由题意可得,经过点的直线方程为，代入圆的方程化简,再利用一元二次方程根与系数的关系求得和-14-\n的值，可得的值，利用，即可得出结论.【详解】（1）由题意过点且斜率为的直线的方程为，代入圆的方程得，∵直线与圆相交于两点，所以，解得，∴实数的取值范围是.（2）证明：设,，，所以，∴为定值.【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.-14-