2022年重庆一中高2022级高二上期半期考试数学试题卷（理科）2022.12数学试题共4页，共22个小题。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1.直线的横、纵截距之和等于（）A．B．C．D．2.圆与圆（）A．外离B．外切C．相交D．内切3.已知球的表面积为,则球的体积为（）A．B．C．D．4.椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的大小为（）A．B．C．D．5.已知，命题，则（ ）A.是真命题，B.是真命题，C.是假命题，D.是假命题，6.已知直线与双曲线交于两点，若线段的中点为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．8\n8.下列说法正确的个数有（ ）个.（1）若，垂直于同一平面，则与平行;（2）“如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面”的逆否命题为真命题；（3）“若，则方程表示双曲线”的否命题为真命题；（4）“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.A.1B.2C.3D.49.（原创）已知，直线和直线分别与圆相交于和，则四边形的面积为（）A．B．C．D．10.（原创）正项数列满足：（），则前2022项的和（）A．B．C．D．11.（原创）四面体中，，点、分别为、的中点，过点、和四面体的外接球球心的平面将四面体分成两部分，则较小部分的体积与四面体的体积之比为（）A．B．C．D．12.（原创）已知点为坐标原点，为椭圆的左焦点，点、在椭圆上，点、、满足，则的最大值为（）A．B．C．D．8\n第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.13.在中，若,则的面积等于.14.正四棱柱中，，，点是的中点,则异面直线与所成角的大小为.15.（原创）点为双曲线的右焦点，以为圆心的圆过坐标原点，且与双曲线的两渐近线分别交于、两点，若四边形是菱形，则双曲线的离心率为.16.（原创）设为抛物线的焦点，过抛物线外一点作抛物线的切线，切点为.若,则点的轨迹方程为.三、解答题：(本大题6个小题，其中17题10分,其余每题12分,共70分)各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).17.在等差数列中，.(1)求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18.如图,在直三棱柱中,,,,点是的中点.(1)求证：面；(2)求直线与平面所成角的余弦值.19.(原创)已知中，内角的对边分别为，且成等差数列.（1）求的值；（2）若，求边的长.8\n20.（原创）如图,已知四边形满足，是的中点,将沿折成，使面，上一点．(1)若为的中点，求证:；(2)若，求二面角的余弦值.21.（原创）已知点关于直线的对称点在抛物线的准线上.(1)求抛物线的方程；(2)直线与轴交于点，与抛物线交于两点．是否存在定点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．22.（原创）左、右焦点分别为的椭圆与焦点为的抛物线相交于两点，若四边形为矩形,且的周长为.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆上一动点（不在轴上）作圆:的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积的取值范围.2022年重庆一中高2022级高二上期半期考试数学答案（理科）2022.12一．选择题ACBDBCCBDDAC10题提示：设，则，8\n再用三角换元或均值不等式可解.一．填空题16题提示：（交轨法）设，则直线，整体消参得.二．解答题17.解：⑴由a3＋a4＋a5＝，a9＝得,所以；⑵，.18.解:(1)如图，以为单位正交基底建立空间直角坐标系,则,,,,，∴,，，设平面的法向量为,由∴取,得,∴平面的法向量为由此可得，，又平面，所以面.(2),设直线与平面所成角为,则,又为锐角,8\n所以直线与平面所成角的余弦值为.注：第⑴问可先证线线平行，或面面平行；第⑵问可用定义法或体积法.19.解:⑴成等差数列,⑵成等差数列,注:第⑵问可对角用余弦定理再得三边一等量关系,并联立第⑴问结果解关于的方程组可解.20.解:(1)取AE的中点M，连接，MD，则AE，，所以，则,为的中点,,所以,所以.(2)如图,分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设,则,由得,8\n设平面的法向量为,则取,则,,设平面的法向量为,则取,则,,,根据的方向可得二面角的余弦值为.20.解:⑴设,则,所以抛物线的方程为.⑵设由,所以时,存在定点,使得=.21.解:⑴由题意可得,带入得,又的周长为,8\n所以,所以椭圆的方程为;⑵设,则以线段为直径的圆的方程为,又圆的方程为,两式相减得直线的方程为.由得设，则设，则且上单调递增，所以的面积的取值范围为.8
