7随机变量及其分布（二）一、单选题．1．某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（）A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（）A．B．C．D．3．已知随机变量，满足，若，则，分别为（）A．6，B．6，C．2，D．2，4．已知两个正态密度函数的图象如图所示，则（）\nA．，B．，C．，D．，5．在次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥．已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为，则事件A，B，C发生次数的方差之比为（）A．5：5：4B．4：4：3C．3：3：2D．2：2：16．考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（）A．B．C．D．7．有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的正品数的数学期望值是（）A．B．C．D．8．设随机变量，函数没有零点的概率是，则（）附：若，则，．\nA．B．C．D．二、多选题．9．下列随机变量中，服从超几何分布的有（）A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数XB．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数XC．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数XD．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X10．一个口袋内有12个大小、形状完全相同的小球，其中有个红球，若有放回地从口袋中连续取四次（每次只取一个小球），恰好两次取到红球的概率大于，则的值可能为（）A．5B．6C．7D．811．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中1次的概率为，则下列结论正确的是（）A．该射手第一次射击命中的概率为B．该射手第二次射击命中的概率为C．该射手4次射击中恰好命中1次的概率为D．该射手4次射击中至多命中1次的概率为12．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．\n三、填空题．13．已知随机变量服从正态分布，若，则______．14．为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）．根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布．假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________．附：若随机变量X服从正态分布，则．15．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图所示的为一幅唐朝的投壶图，假设甲､乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲､乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则乙最后获胜的概率为_________．四、解答题．16．网上购物已经成为一种重要的消费方式．某网络公司通过随机问卷调查，得到不同年龄段的网民在网上购物的情况，并从参与的调查者中随机抽取了150人．经统计得到如下表格：年龄（岁）频数1545453087\n在网上购物的人数1233351532若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年，把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年人，把年龄大于或等于65岁的视为老年人，将频率视为概率．（1）在青少年、中年人、老年人中，哪个群体网上购物的概率最大？（2）现从某市青少年网民（人数众多）中随机抽取4人，设其中网上购物的人数为，求的分布列及期望．17．甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选．（1）求甲恰有2个题目答对的概率；（2）求乙答对的题目数的分布列；（3）试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．\n18．口琴是一种大众熟知的方便携带的乐器．独奏口琴有三种，分为半音阶口琴(有按键)、复音口琴、十孔口琴(又名布鲁斯口琴、蓝调口琴)．“口琴者联盟”团队为了解口琴爱好者的练琴情况，提高口琴爱好者的音乐素养，推动口琴发展，在全国范围内进行了广泛调查．“口琴者联盟”团队随机调查了200名口琴爱好者每周的练琴时间(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图可以看出，目前口琴爱好者的练琴时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差（同一组的数据用该组区间中点值代表），据此，估计万名口琴爱好者每周练琴时间在分钟到分钟的人数；（2）从样本中练琴时间在和内的口琴爱好者中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行培训，设表示抽取的人中练琴时间在内的人数，求的分布列和数学期望．参考数据：样本方差，，，\n，．\n答案与解析一、单选题．1．【答案】C【解析】由随机变量均服从正态分布，，，结合正态概率密度函数的图象，可得，，即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故选C．2．【答案】D【解析】全部都是二等品的概率为，故至少有1个是一等品的概率为，故选D．3．【答案】C【解析】∵，∴，．∵，∴，∴，，故选C．4．【答案】A【解析】正态曲线关于直线对称，且在处取得峰值，由题图易得，因为的图象更“瘦高”，的图象更“矮胖”，则，故选A．5．【答案】C\n【解析】根据事件的互斥性可得：每一次试验中，事件发生的概率为，设事件A，B，C发生的次数分别为随机变量，则有：，，，则事件A，B，C发生次数的方差分别为，，，故事件A，B，C发生次数的方差之比为，故选C．6．【答案】C【解析】问题①，由，解得，则．问题②，根据题意，事件B的可能情况有种，事件发生的可能情况为种，所以，．故选C．7．【答案】B【解析】由题意，有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，则抽到正品数服从超几何分布，所以抽到的正品数的数学期望值是，故选B．8．【答案】B【解析】若函数没有零点，∴二次方程无实根，∴，∴．又∵没有零点的概率是，∴．由正态曲线的对称性知，∴，∴，，\n∴，，，，∴，，∴，故选B．二、多选题．9．【答案】CD【解析】AB是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB不符题意；CD符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布，故选CD．10．【答案】ABC【解析】设每次取到红球的概率为，由题意得，即，解得，因为，所以，所以或6或7，故选ABC．11．【答案】BCD【解析】设该射手命中的概率为，则至少命中1次的概率为，解得，则该射手每一次射击命中的概率都为，故A错误，B正确；该射手4次射击中恰好命中1次的概率为，故C正确；该射手4次射击中至多命中1次的概率为，故D正确，故选BCD．\n12．【答案】BD【解析】因为，所以A不正确；因为，所以B正确，C不正确；因为，所以，所以D正确，故选BD．三、填空题．13．【答案】【解析】因为随机变量服从正态分布，所以正态密度函数图象关于对称，因为，所以，故答案为．14．【答案】19【解析】依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为，故答案为19．15．【答案】【解析】若乙只投中1次，则甲投中0次时乙获胜，其概率为\n；若乙只投中2次，则甲投中0次或1次时乙获胜，其概率为；若乙投中3次，则乙必获胜，其概率为，综上所述：乙最后获胜的概率为，故答案为．四、解答题．16．【答案】（1）青少年网上购物的概率最大；（2）分布列见解析，期望为3．【解析】（1）由题表中的数据知，青少年网上购物的概率为，中年人网上购物的概率为，老年人网上购物的概率为，因为，所以青少年网上购物的概率最大．（2）由题意及（1）知，可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，．故的分布列为01234．17．【答案】（1）；（2）见解析；（3）甲平均答对的题目数小于乙平均答对的\n题目数．【解析】（1）∵甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率．（2）由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，，，，X的分布列为：X234P（3）∵乙平均答对的题目数，甲答对题目，甲平均答对的题目数．，∴甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数．18．【答案】（1）人；（2）分布列见解析，3．【解析】（1）这名口琴爱好者每周的练琴时间的平均时间，由于样本方差，所以，结合题意知，，∴，，小时分钟，小时分钟，，，可以估计万名口琴爱好者每周练琴时间在分钟到分钟的人数约为人．（2）由频率分布直方图可知，练琴时间在，内的口琴爱好者人数比例为，\n用分层抽样的方法抽取人，则练琴时间在内的有人，练琴时间在内的有人．∴的所有可能取值为，，，则，，，∴的分布列为：故．
