6随机变量及其分布（一）一、单选题．1．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则表中值等于（）012A．B．C．D．2．设随机变量的分布列为，、、，其中为常数，则（）A．B．C．D．3．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（）A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到球的个数4．济南素有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”的美名．现有甲、乙两位游客慕名来到济南旅游，分别准备从大明湖、千佛山、趵突泉和五龙潭4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩．记事件：甲和乙至少一人选择千佛山，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（）A．B．C．D．5．某区有A､B两所学校，其中A校有男教师10人，女教师5人，B校有男教师3人，女教师6人．为了响应国家号召，实现教育资源的优化和均衡，决定从A校随机抽一名教师调到B校，然后在B校的10名教师中随机抽一名教师去培训学习，在从B校抽出来的参与培训学习的为男教师的条件下，从A校调到B校的教师为女教师的概率是（）A．B．C．D．\n6．市场上某种商品由三个厂家同时供应，甲厂家的供应量是乙厂家的2倍，乙、丙两个厂家的供应量相等，且甲、乙、丙三个厂家的产品的次品率分别为2％，2％，4％，则市场上该商品的次品率为（）A．B．C．D．7．已知随机变量的分布列如下表，若，，则（）02A．B．C．D．8．设样本数据的均值和方差分别为1和4，若，，…，10，且，，．．．，的均值为5，则方差为（）A．5B．8C．11D．16二、多选题．9．下列说法正确的是（）A．，，则B．，，互斥且，，，则C．若，且，，，则D．设，，是一组两两互斥的事件，，且，，2，3，则10．在2021年的高考中，数学出现了多项选择题．假设某一道多项选择题有四个选项1､2､3､4，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为\n，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同．根据以上信息，下列说法正确的是（）A．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于B．1选项是正确选项的概率高于C．在1选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为D．在1选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率为11．已知随机变量的分布列如下表：01记“函数是偶函数”为事件，则（）A．B．C．D．三、填空题．12．若，，其中，则______．13．有朋自远方来，选乘火车、汽车、飞机来的概率分别为，，，对应迟到的概率分别为，，，则他会迟到的概率为______．14．随机变量X的分布列为XP若，，成等差数列，则公差的取值范围是______．15．对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测3次，一旦发现问题，则停止检测，否则一直检测到3次为止，若该仪器一次检测出现问题的概率为，设检测次数为，则的数学期望为______．\n四、解答题．16．6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．(结果用数值表示)（1）若老师站在正中间，同学甲要与老师相邻，则不同的排法共有多少种；（2）同学甲、同学乙、老师三人互不相邻的排法有多少种？（3）在同学甲与老师相邻的前提下，同学乙也与老师相邻的概率是多少？17．某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）甲员工30天20天40天10天乙员工20天25天15天40天假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；（2）记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；（3）试判断甲、乙员工在晚餐选择B\n餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．18．甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用了“3局2胜制”（这里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束）．若仅比赛2局就结束的概率为．（1）求的值；（2）若采用“5局3胜制”（这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束），求比赛局数的分布列和数学期望．\n答案与解析一、单选题．1．【答案】B【解析】由离散型随机变量的分布列得，解得，故选B．2．【答案】D【解析】由已知可得，则，因此，，故选D．3．【答案】C【解析】选项A，B是随机事件；选项D是定值2；选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示，故选C．4．【答案】D【解析】根据题意，甲和乙至少一人选择千佛山的情况有种，甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择千佛山的情况有种，所以，故选D．5．【答案】A【解析】记“从A校调到B校的教师为女教师”为事件M，记“从B校抽出来的参与培训学习的为男教师”为事件N，则，又“从B校抽出来的参与培训学习的为男教师”包含两种情况：从A校抽取到B校的教师为男教师；从A校抽取到B校的教师为女教师，\n，，故选A．6．【答案】C【解析】设，，分别表示取到甲、乙、丙厂家的产品，B表示取到次品，由题意得，，，，，由全概率公式得，故选C．7．【答案】B【解析】由题意得，，∴，①由方差的性质知，，又，∴，∴，即，所以，将代入①式，得．故选B．8．【答案】D【解析】因为样本数据的均值和方差分别为和，且，所以的均值为，即，所以方差为，故选D．\n二、多选题．9．【答案】AD【解析】应用全概率公式要求满足3个条件：①，，…，是一组两两互斥的事件；②；③．只有选项AD满足，故选AD．10．【答案】BC【解析】若正确选项的个数为2个，则有共6种组合，每种组合为正确答案的概率为，若正确选项的个数为3个，则有共4种组合，每种组合为正确答案的概率为，若正确选项的个数为4个，则有共1种组合，这种组合为正确答案的概率为，对于A，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；对于B，1选项是正确选项的概率为，正确；对于C，1选项为正确选项为事件A，由B选项知，，正确选项有3个为事件B，则，正确；对于D，1选项为错误选项为事件C，，正确选项有2个为事件D，则，错误，故选BC．\n11．【答案】ACD【解析】因为函数是偶函数，所以，，所以，，又因为，所以事件表示，所以，，随机变量的可能取值为0，1，，，所以，故选ACD．三、填空题．12．【答案】（或）【解析】由概率的基本性质得：，故答案为．13．【答案】【解析】根据题意，他会迟到的概率为，故答案为．14．【答案】【解析】由题意知，，∴，∴．又，∴，∴．同理，由，，∴，∴，\n即公差的取值范围是，故答案为．15．【答案】【解析】由题意，检测次数可取，则，，，所以，故答案为．四、解答题．16．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）如图：，有7个位置，老师只能排在4号位置，同学甲可排在3或5号位置，其余5位同学可排剩下的5个位置，故共有种排法．（2）可以采用插空法，现将除同学甲、同学乙、老师3人的其余4人进行排列，再将同学甲、同学乙、老师三人插空到5个空隙即可，故共有中排法﹒（3）同学甲与老师相邻时有＝1440种排法，若同学乙也与老师相邻，则有种排法，故在同学甲与老师相邻的前提下，同学乙也与老师相邻的概率是．17．【答案】（1），；（2）分布列见解析，；（3）在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐，理由见解析．【解析】（1）解：设事件“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，事件“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”．\n由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，所以，．（2）解：甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为；乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，依题意的所有可能取值为1，2，所以，．所以的分布列为12所以．（3）解：设“甲员工晚餐选择B餐厅就餐”，“乙员工晚餐选择B餐厅就餐”，“甲员工在午餐时选择A餐厅就餐”，“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则，．因为，所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐．18．【答案】（1）或；（2）分布列见解析，．【解析】（1）由题意知，若仅“比赛2局就结束”记事件A，则，解得或．（2）随机变量的取值为3，4，5，则，\n，，所以随机变量的分布列为345所以．
