2导数（二）一、单选题．1．函数的单调增区间是（）A．B．C．D．2．已知为函数的极小值点，则（）A．B．C．2D．43．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A．B．C．D．4．函数的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）\nA．B．C．D．6．已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．7．函数在区间上有最小值，则m的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知函数，（）．若在上恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C．D．9．已知函数在区间内存在极值点，且在上恰好有唯一整数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题．10．下列结论中不正确的是（）A．若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值\nB．若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数在区间上的极小值C．若函数在区间上有最值，则最值一定在或处取得D．若函数在区间内连续，则在区间内必有最大值与最小值11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数既存在极大值又存在极小值B．函数存在个不同的零点C．函数的最小值是D．若时，，则的最大值为12．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若区间上，则称函数在区间上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围的一个必要不充分条件为（）A．B．C．D．13．已知函数，则（）A．若有两个极值点，则或B．若有极小值点，则C．若有极大值点，则D．使连续的a有3个取值三、填空题．14．函数，的最小值为________．\n15．若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是_________．16．函数在上存在极值点，则a的取值范围是________．17．函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________．四、解答题．18．已知函数．（1）当时，证明：函数在定义域内递增；（2）当时，试讨论在内极值点的个数．19．设函数．\n（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．\n答案与解析一、单选题．1．【答案】C【解析】函数定义域为R，求导得，由，解得，所以函数的单调递增区间是，故选C．2．【答案】C【解析】，∴或时，单增；时，单减，∴是的极小值点，故选C．3．【答案】A【解析】由图象可得：在上单增，在上单减，在上单增，所以在上；在上；在上，不等式可化为：或，解得或，故原不等式的解集为，故选A．4．【答案】B【解析】因为，所以，所以为奇函数，排除C；在，设，，单调递增，因此，\n故在上恒成立，排除A、D，故选B．5．【答案】C【解析】由可得，由题可知，即在上恒成立，又在上单调递增，∴，∴，故选C．6．【答案】C【解析】构造函数，当时，单调递减；当时，单调递增，，，，因为，所以，即，而a，b，，所以，故选C．7．【答案】B【解析】，易知在，单调递增，在单调递减，又，，，，故f(x)图象如图：\n函数在区间上有最小值，则由图可知，故选B．8．【答案】D【解析】在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，；当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，所以，故选D．9．【答案】C【解析】，当时，恒成立，在上单调递增，不存在极值点，不合题意；当时，令，解得，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，的极小值点为，无极大值点；\n在上存在极值点，在上恰好有唯一整数解，又，则当，即时，，不合题意；当时，则的唯一整数解为，，，，解得；当时，则的唯一整数解为，，，，解得，综上所述：实数的取值范围为，故选C．二、多选题．10．【答案】ABC【解析】若函数在区间上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故A，B，C都不正确；函数在闭区间上一定有最值，故D正确，故选ABC．11．【答案】ACD【解析】由题设，，所以上，递减；上，递增；上，递减，故在上取极小值，上取极大值，A正确；\n又，，，当趋于正无穷时，无限趋向于0且，故存在两个不同零点，B错误；由B分析知：在上值域为，在上值域为，在上值域为，故在R上的值域为，即最小值是，C正确；由上分析可得如下函数图象：要使时，，只需即可，故的最大值为，D正确，故选ACD．12．【答案】AD【解析】由题，，，若在上为“凸函数”，则在上成立，即，，令，，则，所以在上单调递增，所以，所以，为充要条件，由选项可知，必要不充分条件可以是或，故选AD．13．【答案】CD【解析】令，，或；，\n即函数在上单调递减，在和上单调递增，作出函数和的图象，如图所示．对于选项A，若有两个极值点，则或，所以选项A错误；对于选项B，当时，是函数的极小值点，所以选项B错误；对于选项C，由图易知正确；对于选项D，使连续的a有3个取值，即，0，1，所以选项D正确，故选CD．三、填空题．14．【答案】0【解析】，令，得．当时，；当时，，所以在上递增，在上递减，因为，，所以的最小值为0，故答案为0．15．【答案】【解析】函数，，若函数在区间上不单调，则在上存在变号零\n点，由，得，令，，，在递减，在递增，而，，，所以，故答案为．16．【答案】【解析】由，得，∴，函数单调递减；，函数单调递增，由函数在上存在极值点，可得，∴，∴实数a的取值范围是，故答案为．17．【答案】【解析】，因为，所以，所以函数在上递增，又因函数在上递增，不妨设，当时，，符合题意；\n当时，不等式恒成立，即不等式恒成立，即不等式恒成立，令，，则时，，所以函数在上递增，，则在恒成立，即在恒成立，令，，则，所以函数在上递增，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是，故答案为．四、解答题．18．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（1）函数的定义域为，，因为，则，故，所以函数在定义域内递增．\n（2）当时，，，设，，在上单调递增，在上单调递减，由，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为；，故使得，且当时，，则当时，，又因为，故使得，且当时，，且当时，，则当时，，则当时，，所以在处取到极大值，在处取到极小值，故在内有2个极值点．19．【答案】（1）递增区间为，，递减区间为；（2）．【解析】（1）由题设，，\n而，则，由于的关系为：极大值极小值递增递减递增所以的递增区间为，，递减区间为．（2）当时，由（1），极大值，极小值，要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所以；当时，单调递增，显然有且只有一个零点，符合题意；当时，递增区间为，，递减区间为；极大值，极小值，要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所以，综上：．
