江西省临川第一中学2022高三数学（文）4月模拟试卷（PDF版附答案）

临川一中2022届高三4月模拟考试数学（文科）试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.2.本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置。第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．n*21．已知集合Axx2cos,nN，Bxx2x30，则AB（）3A．{2,1}B．{2,1,1}C．{1,2}D．{1,1,2}2i20222．若复数z满足zi（i为虚数单位），则z的虚部为（）iA．2B．2iC．2D．2i3.2021年11月，中国青年报社社会调查中心通过问卷网，对2000名14~30岁青少年进行的专项调查显示，对于神舟十三号航天员乘组出征太空，98.9%的受访青少年都表示了关注．针对两个问题“关于此次神舟十三号飞行乘组出征太空，你有什么感受（问题1）”和“青少年最关注哪些方面（问题2）”，问卷网统计了这2000名青少年回答的情况，得到如图所示的两个统计图，据此可得到的正确结论为（）A．对于问题2，只有极少的受访青少年关注航天员是怎样选的.B．对于问题1，不到一半的受访青少年认为开启空间站新时代，“中国速度”令人瞩目.C．对于问题2，青少年关注最多的是航天员在太空的工作和生活.D．对于问题1，超过八成的受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步.x2y204.若实数x，y满足，则z2xy的值不．可．能．为（）y|x1|A.2B.4C.9D.1235.已知cos()，则sin2（）12332121A．B．C．D．9393临川一中高三4月模拟考试数学（文科）试题第1页，共4页\n6.若实数a，b满足65aab，则下列选项中一定成立的有（）aA．abB．a3b3C．eab1D．ln0bx2y27.已知F1（-3，0），F2（3，0）分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，其P是双曲线a2b2π上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的标准方程为（）6222222xyxy2yx2A.1B.1C.x1D.y16336888.如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有侧棱中，最长的侧棱长为（）.A．2B．5C．22D．39.已知定义在R上的函数yf(x)满足f(x)f(x)，函数yf(x1)为偶函数，且当x[0,1]时，f(x)log(xa)，则f(2022)f(2023)（）2A．1B．1C．504D．无法确定10.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b，则满足ab1的概率为（）891816A．B．C．D．2525252512211.已知f(x)x2ax，g(x)3alnxb其中a0．设两曲伐yf(x)，2yg(x)有公共点，且在该点的切线相同，则实数b的值为（）11A．B．3eC．26eD．23e6e2p12.已知抛物线C:y2px(p0)的焦点为F,点M(,0)，过点F的直线与此抛物线C交于2A，B两点，若|AB|8，且tanAMB22，则p（）A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a(1,k),b(k1,2)，若ab，则|ab|=_________．临川一中高三4月模拟考试数学（文科）试题第2页，共4页\n14.命题“xR，x1xeae”为假．命题，则实数a的取值范围为_______.15.将一个边长为4的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积____.116.已知在四边形ABCD中，AB7，BC13，CDAD，且cosB，BAD2BCD．则7AD=_________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.17．（本小题满分12分）已知an是等差数列，a612，a2a3a418．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若数列{b}满足：b|(2)an32|，设数列{b}的前n项的和T，试求T.nnnn1018.（本小题满分12分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3AD，E在棱C1D1上且C1E2ED1，在平面A1B1C1D1内过点E作直线l，使得lAE（1）在图中画出直线l并说明理由；（2）若ADAA13，且直线lB1C1P，求点P到平面ABE的距离．19．（本小题满分12分）COMS温度传感器是一种采用大规模数字集成电路技术的温度传感器，集成了温度传感电路和信号处理电路，可检测芯片温度和环境温度，具有低成本、低功耗、高精度和线性度强的优点，广泛用于环境、医疗、制造业、化工、能源、气象、仓储、冷藏、冰柜、恒温恒湿生产车间、办工场所等领域．下表是通过对某型号COMS高精度温度传感器IC的芯片温度与输出电压进行初步统计得出的相关数据：芯片温度t（℃）20204080100输出电压测量值UV2.492.071.881.451.31（Ⅰ）已知输出电压U与芯片温度t之间存在线性相关关系，求出其线性回归方程；（精确到小数点后两位）（Ⅱ）已知输出电压实际观察值为U，估计值（拟合值）为Uˆ，以上述数据和（Ⅰ）中的线性回ii1n2归方程为依据，UiUˆi．若满足UiUˆi3，则可判断该COMS高精度温度传ni1感器IC工作正常；若不满足，则可判断工作不正常．现某该型号温度传感器在芯片温度为90℃时，其输出电压为1.3V，判断该温度传感器工作是否正常．552t1,U1t2,U2tn,Un参考数据：tiUi313.8，ti18800．附：对于一组数据，，…，，i1i1临川一中高三4月模拟考试数学（文科）试题第3页，共4页\nntiUintU其回归直线Uˆaˆbˆt的斜率和截距的最小二乘估计分别为bˆi1，aˆUbˆt．n22tinti122xy6320.（本小题满分12分）已知椭圆C:1(ab0)，四点P(2,),P(0,1)P(1,)22123ab2232222P(1,)中恰有三点在椭圆C上.点P为圆M:xyab上任意一点，O为坐标原点．42（1）求椭圆C及圆M的标准方程；（2）设直线l经过点P，且与椭圆C相切，与圆M相交于另一点A，点A关于原点的对称点为B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．21．（本小题满分12分）设m为实数，函数fxlnx2mx．（1）当m1时，求函数fx的单调区间；（2）若方程fx2m1xn2nR有两个实数根x1,x2x1x2，证明：2x1x2e．（注：e2.71828是自然对数的底数）请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程2在平面直角坐标系xOy中，曲线C的普通方程为y4x，曲线C的参数方程为1212xcos22（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．12ysin22（Ⅰ）求曲线C，C的极坐标方程；12π（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程为0，直线l与曲线C，C分别交于异于极点122的A，B两点，且OAOB8，求AB．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲1已知函数fxx12xaa0，gxx1．2（Ⅰ）当a1时，解关于x的不等式fx0；（Ⅱ）若函数fx与gx的图象可以围成一个四边形，求a的取值范围．临川一中高三4月模拟考试数学（文科）试题第4页，共4页\n2022年临川一中高三模拟考试（文科数学）参考答案一、选择题题号123456789101112答案CACDBDBCABDB二、填空题5213.14.(,3]15.16316.73二．解答题：a12617.解：（1）设等差数列an的公差为d，由条件得，aaa3a6d182341a21解得．故an2n．………4分d2n322(1n5)n（2）由（1）知：bn|232|，则bnn，nN*………6分则232(n5)T(bbb)(bbb)n12567101256710[325(222)][(222)325]5652(21)2(21)(264)311922.………12分212118.（1）在B1C1上取一点F连结EF，则EF为所求作的直线l，下面给出证明：连结B1D1，由已知可证得A1D1E与D1C1B1相似，故A1EB1D1，又EF//B1D1，EFA1E又EFA1A，EF平面AA1E，EFAE，故EF为所求作的直线l.……6分1（2）.连结BC1，由（1）知：B1FB1C1，在平面B1BCC1内过F作FOBC1于O，易知平面3A,B,C1,E四点共面，又，故有FO平面ABC1E，6即所求的点P到平面ABE的距离，在侧面B1BCC1内可求得FO，36故点P到平面ABE的距离为.………12分32020408010019.解：（Ⅰ）由表得：t44，5临川一中高三4月模拟考试数学（文科）答案第1页，共5页\n2.492.071.881.451.31U1.84……………2分55tiUi5tU313.85441.84∴bˆi10.01，aˆ1.840.01442.28，522218800544ti5ti1∴输出电压U与芯片温度t之间线性回归方程为Uˆ0.01t2.28．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：t20℃时，UUˆ0.01,11t20℃时，UUˆ0.01，t40℃时，UUˆ0，2233t80℃时，UUˆ0.03，t100℃时，UUˆ0.03，44551521∴UiUˆi0.00010.000100.00090.00090.02，…10分5i15∵t90℃时，Uˆ0.01902.281.38，UUˆ1.301.380.0830.020.06，∴该温度传感器工作不正常．……………12分20.（1）由对称知：P3,P4都在椭圆C上，对于椭圆在第一象限的图像上的点x,y，易知：y是x的减函数，故P1､P3中只有一个点符合，显然P1不在椭圆上，P2,P3,P4三点在椭圆上，2Px222b2，代入点3得：a22,椭圆C方程为y1；圆M方程为xy5.4……………4分（2）直线PB与椭圆C相切．证明如下：由题意可得，点B在圆M上，且线段AB为圆M的直径，所以PA⊥PB,……………5分①当直线PA⊥x轴时，此时直线过椭圆长轴的顶点,直线PA的方程为x=±2，则直线PB的方程为y=±1，显然直线PB与椭圆C相切．同理，当直线PA//x轴时，直线PB也与椭圆C相切．……………6分②当直线PA与x轴既不平行也不垂直时，1设点P(x0,y0)，直线PA的斜率为k，则k0，直线PB的斜率为−，k1所以直线PA方程为：y−y0=k(x−x0)，直线PB方程为：y−y0=−(x−x0),kyyk(xx)00222由22，消去y得：(14k)x8k(y0kx0)x4(y0kx0)40.x4y4临川一中高三4月模拟考试数学（文科）答案第2页，共5页\n因为直线PA与椭圆C相切，所以Δ1=[8(y0−kx0)k]2−4(4k2+1)[4(y0−kx0)2−4]=0，即Δ=16[(4−x2)k2+2xyk+1−y2]=0①．……………8分100001yy(xx)00同理，由直线PB与椭圆C的方程联立，kx24y24421112消去y得:(1)x8(yx)x4(yx)4020000kkkk2112即Δ2=16[(4−�0)�2−2�0�0�+1−�0]=0②……………9分因为点P为圆�:�2+�2=5上任意一点，所以�2+�2=5，即�2=5−�2③．0000将③代入①式，得(4−�20)�2+2�0�0�+�20−4=0……………10分1222将③代入②式，得Δ2=16.�2[(4−�0)−2�0�0�+(1−�0)�]=01622=−�2[(4−�0)+2�0�0�+(�0−4)]=0所以此时直线PB与椭圆C相切，综上所述，直线PB与椭圆C相切．……………12分112x21解：(1)fx2，x0，xx1令fx0解得：x211故函数fx在0,上单调递增，在,上单调递减．……………4分221x（2）证明：lnx2mx2m1xn2，lnxxn2，令Fxlnxx，F(x)，xFx在（0，1）上单调递增，在1,上单调递减，F11，lnxxn2x111∴n1，不妨设0x11x2，则，故lnx1x2,……………6分lnx2x2n2x2x1lnttlnt令t，lnttx2x2，所以x2，x1，0t1，x2t1t12tlntlnt要证2x1x2e，只要证e，只要证2t1lntet1，……………8分t1t11令ht2t1lntet1，ht2lnte2，t12t111设(t)ht2lnte2,t2，∴ht在0,上单调递减，在,1上单调递增，tt22111∵h0，hee10，h13e0，则存在t0,1，使得ht00，eee临川一中高三4月模拟考试数学（文科）答案第3页，共5页\n11∴ht在0,上单调递增，在,t0上单调递减，在t0,1上单调递增，ee12∵he20，h10，∴ht2t1lntet10在0t1上恒成立，ee即证得：2x1x2e．……………12分22．（本小题满分10分）222解：（Ⅰ）∵曲线C的普通方程为y4x，∴sin4cos，12即曲线C的极坐标方程为sin4cos，……………2分112xcos22∵曲线C2的参数方程为（为参数），12ysin2222111∴曲线C的普通方程为xy，2222222即xyxy0，即cossin0，即曲线C的极坐标方程为cossin．……………5分2π（Ⅱ）把0代入C，C的极坐标方程得：1224cosOA，OBcossin，122sin4cos44tan∴OAOBcossin8，22sintan21∴2tantan10，解得tan1或tan（舍去），2π∴，∴42，2，124∴AB32．……………10分1223．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）a1时，fxx12x1①当x1时，fxx12x1x20，解得x2，∴x1②1x时，fxx12x13x0，解得x0，∴0x12③当x1时，fxx12x1x20，解得x2，∴1x2，临川一中高三4月模拟考试数学（文科）答案第4页，共5页\n综上所述，当a1时，fx0的解集为x0x2．……………5分xa1,x1a（Ⅱ）fxx12xa3x1a,1x．2axa1,x2aa∴fx在,上单调递增，,上单调递减，22a1又∵f12a0，ffa10，gx在,2单调递减，2,上单3调递增，∴fx与gx图像如图所示，要使得fx与gx的图像可以围成一个四边形，a1则2a1，即1a7．故a的取值范围为1,7．……………10分3临川一中高三4月模拟考试数学（文科）答案第5页，共5页\n临川一中高三4月模拟考试数学（文科）答案第6页，共5页