数学试题（理科）一、单选题（每小题5分，满分60分）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（）A.B.C.D.3.某商场2022年部分月份销售金额如下表:若用最小二乘法求得回归直线方程为，则a=（）月份x246810销售金额y（单位：万元）64132a286368A.198.2B.205C.211D.213.54.函数在的图象大致为（）A.B.C.D.5.“干支纪年法”是中国历法上使用的纪年方法.甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸被称为“十天干”，子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥被称为“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，其相配顺序为：甲子，乙丑，……，癸酉，甲戌，乙亥，……壬戌，癸亥，甲子，……，周而复始，循环记录，此为干支纪年法.十三届全国人大四次会议审查的《国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035\n年远景目标纲要（草案）》提出，展望2035年，中国将基本实现社会主义现代化.已知1901年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2035年是“干支纪年法”中的（）A.甲寅年B.乙卯年C.丙辰年D.丁巳年6.已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（）A3B.C.D.38.2019年在阿塞拜疆举行的联合国教科文组织第43届世界遗产大会上，随着木槌落定，良渚古城遗址成功列人《世界遗产名录》，这座见证了中华五千多年文明史的古城迎来了在世界文明舞台上的“高光时刻”，标志着良渚是实证中华五千多年文明史的圣地，得到了世界的广泛认同.2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检查测出碳14的残留量约为初始值的55.2%，已知死亡生物体内碳14的含量y与生物死亡年数x之间符合，其中k为死亡生物碳14的初始量.据此推断，此水坝大约是距2010年之前（ ）年建造的.参考数据∶A.4912B.4930C.4954D.49669.展开项中的常数项为A.1B.11C.-19D.5110.在中，角对应的边分别是，若，则的最大值为（）\nA.B.C.D.11.已知双曲线的左､右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（）A.B.C.D.12.若不等式对恒成立（e为自然对数的底数），则实数a的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题（每题5分，满分20分）13.在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则＝____________.14.曲线（为自然对数的底数）在处的切线与圆相交于点，，则___________．15.已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为_________.16.如图，DE是边长为6的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿直线DE翻折至△A1DE，当三棱锥A1－CED的体积最大时，四棱锥A1－BCDE外接球O的表面积为_____；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________.\n三、解答题17.已知各项为正的数列的首项，前n项和为，且满足，数列满足，．（1）求数列和通项公式；（2）若数列满足，求的前n项和．19.已如三棱柱ABC－A1B1C1，点O为棱AB的中点.（1）求证:BC1∥平面A1CO；（2）若△ABC是等边三角形，且AB=AA1，∠A1AB=60°，平面AA1B1B上平面ABC，求二面角A－A1C－B的余弦值.21.新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：\n方案甲：逐份检验，需要检验n次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为．假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为．（1）若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；（2）记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．①当，时，求；②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：）23.已知函数.（1）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；（2）当时，证明：25.设抛物线C：（）的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为，过点A作抛物线C的切线，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l：交于点M.当时，.（1）求抛物线C的方程；（2）若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线，与直线交于点P，与直线l交于点N，求面积的最小值，并求取到最小值时的值.\n选做题（满分10分）27.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求普通方程和的直角坐标方程；（2）若为曲线上任意一点，直线与轴、轴的交点分别为，求面积的最大值．29.已知a，b，c都为正实数，且.证明：（1）；（2）.\n数学试题（理科）一、单选题（每小题5分，满分60分）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】A【11题答案】【答案】A【12题答案】【答案】A二、填空题（每题5分，满分20分）【13题答案】\n【答案】【14题答案】【答案】4【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】①.39π②.三、解答题【17题答案】【答案】（1）；（2）【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）【19题答案】【答案】（1）（2）①②【20题答案】【答案】（1）.（2）证明见解析【21题答案】【答案】（1）（2）,\n选做题（满分10分）【22题答案】【答案】（1），（2）【23题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
