西安市长安区2022年高三第二次模考数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A.B.C.D.2.已知复数z满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（）A.B.C.D.3.函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（）A.2B.3C.4D.54.已知是定义在上的函数，那么“函数在上的最大值为”是“函数在上单调递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行里，之后每天比前一天多行里，驽马第一天行里，之后每天比前一天少行里，若良马和驽马
第天相遇，则的最小整数值为（）A.B.C.D.6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为0.5．若某人获胜的局数大于k，则此人赢得比赛．下列说法正确的是（）①k=1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为；②k=2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为；③在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k；④随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近．A.①②③B.②③④C.①②④D.③④7.已知函数，若函数一个零点为．其图像的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为（）A.2B.6C.10D.148.设m，n是两条不同直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则9.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则它的内切球的表面积为（）
A.B.C.D.10.已知曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于2，则C的离心率为（）A.B.C.D.11.已知是定义在R上的可导函数，是的导函数，若，则在上（）A.恒为正值B.恒为负值C.单调递增D.单调递减12.已知抛物线的焦点到准线的距离为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中的系数为______．14.已知向量，，若，则实数______．15.已知定义域为的奇函数，当x>0时，有，则______．16.“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限“0，1数列”，表示把A中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如，则．设是一个有限“0，1数列”，定义，k=1，2，3，…．若有限“0，1数列”，则数列的所有项之和为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若的外接圆半径为2，，求的面积．18.某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下：良好以下良好及以上合计男25女10合计70100（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．附：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，
为等边三角形，平面平面ABCD，F为AB的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20.已知椭圆：左、右焦点，恰好是双曲线的左右顶点，椭圆上的动点满足，过点的直线交椭圆C于，两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上是否存在点使得四边形（为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设有两个不同的零点，求证：．（二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点O
为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于A，B两点，设点，求的值．选修4-5：不等式选讲23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为m，正实数a，b满足，求证：．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】C【10题答案】【答案】B【11题答案】
【答案】A【12题答案】【答案】A【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】4【15题答案】【答案】0【16题答案】【答案】17【答案】（1）（2）【小问1】解：因为，所以，即，所以，因为，所以；【小问2】因为的外接圆半径为2，且，所以，即，所以.18【答案】（1）有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；
良好以下良好及以上合计男252045女451055合计7030100（2）【小问1】良好以下良好及以上合计男252045女451055合计7030100所以，所以有99%把握认为本次体测结果等级与性别有关系.【小问2】根据题意，抽取了9人中男生有6人，女生有3人；设事件表示9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，抽到的3人全是男生，所以，故从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率为：.19【小问1】取中点，连接，∵为等边三角形，中点为，∴，又∵底面是菱形，∴，又，∴平面，又平面，∴.
【小问2】∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，即，再由（1）知，两两垂直，建立如图所示的直角坐标系，由题意，得，则，，设平面的法向量为，则，得，设直线与平面所成角为，∴，所以直线与平面所成角的正弦值为.
20【答案】（1）（2）存在，使得四边形为平行四边形【小问1】因为左右顶点为和，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以椭圆的标准方程为：【小问2】假设存在点使得四边形（为原点）为平行四边形，设，当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，所以，，因为为平行四边形，所以，所以，所以，即，点在椭圆上，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，，，，整理得，所以，，，因为为平行四边形，所以，所以，即，所以，将点代入椭圆方程得，，方程无解，故当直线的斜率存在时，不存在点.综上所述，存在，使得四边形为平行四边形.21【小问1】由题意，，则，，所以函数在点处的切线方程为，即.【小问2】设，由题意，，所以，可得，，要证明，只需证，即，因为，所以可转化为证明，即，令，则，即证，
令，则，所以函数在上是增函数，所以，即得证，所以.22【答案】（1）；（2）【小问1】将代入，得，所以直线l的普通方程为，由得，，即，所以曲线C的直角坐标方程为.【小问2】将代入方程，得，所以，，由直线参数方程中的几何意义得，，所以.23【小问1】当；
当；当；综上，不等式的解集为；【小问2】由（1）得：当；当；当，所以，又a，b为正实数，所以，故，得证.
