2021-2022学年第二学期福州市高二期中质量抽测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角是（）A.30°B.45°C.60°D.75°2.展开式中，含项的系数为（）A.15B.20C.60D.3603.设是等比数列，若，，则（）A.8B.12C.16D.324.4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方法共有（）A.种B.种C.种D.种5.在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（）A.B.C.D.6.在直三棱柱中，，，D为线段的中点，则点D到平面的距离为（）A.B.C.1D.7.游泳是提高心肺功能最好的运动之一，某校大约有30%的学生肺活量达到良好等级，该校大约有20%的学生每周游泳时间超过3小时，这些人中大约有50%的人肺活量达到良好等级．现从每周游泳时间不超过3小时的学生中随机抽查一名学生，则他的肺活量达到良好等级的概率为（）A.0.1B.0.2C.0.24D.0.25
8.已知实数a，b满足，则下列关系一定不成立的是（）AB.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，在平行六面体中，，，．若，，则（）A.B.C.A，P，三点共线D.A，P，M，D四点共面10.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（）A.第三轮被传染人数为16人B.前三轮被传染人数累计为80人C.每一轮被传染的人数组成一个等比数列D.被传染人数累计达到1000人大约需要35天11.在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足，设点P的轨迹为C，则（）A.C的周长为B.OP平分∠APBC.面积最大值为6D.当时，直线BP与圆C相切
12.如图数表的构造思路源于杨辉三角，该表由若干行数字组成，每一行最左与最右的数字均为2，其余的数字都等于其“肩上”的数字之积．记第i行从左往右第j个数字为a，，则（）A.B.C.该数表中第9行的奇数项之积等于偶数项之积D.存在j，使得三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，且，则______．14已知向量，，．若，则______．15.已知某批零件的长度误差X（单位：毫米）近似服从正态分布，从这批零件中随机抽取一件，则事件的概率为______．附：若随机变量，则，．16.已知双曲线，以原点O为圆心，C的焦距为半径的圆交x轴于A，B两点，P，Q是圆O与C在x轴上方的两个交点．若，则C的离心率为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知函数．（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．19.设各项均为正数的数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）求．21.如图，在四棱锥中，四边形BCDE为梯形，，，平面平面BCDE，．（1）求证：平面BCDE；（2）若，求平面CAB与平面DAB夹角的余弦值．23.为响应“双减政策”，丰富学生课余生活，某校举办趣味知识竞答活动，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．小明，小红两位同学代表高二1班答题，假设每道题小明答对的概率为，小红答对的概率为，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量X．（1）若，求x的分布列和数学期望；（2）若高二1班至少答对一道题的概率不小于，求p的最小值．25.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当，，求a的取值范围．27.已知点P为椭圆上一个动点，A、F分别为C的左顶点、左焦点．（1）证明：；
（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点A，且直线，与C分别交于E，G两点（E，G异于点A），若，试判断直线EG是否经过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】ABD【12题答案】【答案】ACD【13题答案】【答案】1【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】
【16题答案】【答案】【17题答案】【答案】（1）递增区间为和，递减区间为（2）最大值为6，最小值为－26【小问1详解】，由得或，由得，所以的单调递增区间为和，的单调递减区间为．【小问2详解】令得或，由（1）可列下表x-13+0-0+单调递增取极大值单调递减取极小值单调递增由于，，，，得在区间上的最大值为6，最小值为－26．【19题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】当时，由得，．
当时，由得，两式相减可得，化简得，由条件得，故，得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，从而数列的通项公式为．【小问2详解】由（1）得，所以，得．【21题答案】【小问1详解】因为平面平面BCDE，平面平面，，平面BCDE，所以平面AED，因为平面AED，所以，因为，，平面BCDE，所以平面BCDE．【小问2详解】因为平面BCDE，，所以BE，DE，AE两两互相垂直，以E点为原点，EB，ED，EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
得各点坐标分别为：、、、，得，，．设平面CAB的一个法向量为，由，，得，令得，，从而．设平面ABD的一个法向量为，由，，得，令得，，从而．，所以平面CAB与平面DAB夹角的余弦值为．【23题答案】【答案】（1）分布列见解析，数学期望为（2）【小问1详解】X的可能取值为0，1，2，3，4．高二1班答对某道题的概率，
则，．则X得分布列为X01234P则．【小问2详解】高二1班答对某道题的概率为，答错某道题的概率为．则，解得，所以p的最小值为．【25题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】，，又，故在点处的切线方程为．【小问2详解】当，令，得，，令，则．
①若时，得，则在上单调递增，故，所以在上单调递增，所以，从而，不符合题意；②若，令，得．（ⅰ）若，则，当时，，在上单调递增，从而，所以在上单调递增，此时，不符合题意；（ⅱ）若，则，在上恒成立，所在上单调递减，，从而在上单调递减，所以，所以恒成立．综上所述，a的取值范围是．【27题答案】【小问1详解】由条件得F坐标为，设P点坐标为，得，．，因，所以，得．【小问2详解】设，．
①当直线EG的斜率不存在时，点E，G关于x轴对称，，互为相反数，，与条件矛盾．②当直线EG的斜率存在时，设直线EG方程为，将其与椭圆方程联立，得，消去y得，则，．由得，去分母整理得，从而，去分母整理得，即，得或．若，则直线EG方程为，即，可知直线EG恒过定点，与题设条件不符，舍去．若，则直线EG方程为，即，可知直线EG恒过定点．综上，可得直线EG恒过定点，定点坐标为．
