2021-2022学年第二学期福州市高一期中质量抽测数学试卷友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位，越界答题!─、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的共轭复数为（）A.B.C.D.2.已知向量，若，则实数（）A.2B.C.-1D.-23.已知为锐角，且，则（）A.B.C.D.4.在四边形ABCD中，若，且，则该四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形5.是复数为虚数的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件6.多项式在复数集中因式分解结果是（）A.B.C.D.7.在边长为2的正方形ABCD中，点E为边BC上的动点，点F为边CD上的动点，且，则的最小值为（）A.3B.5C.-1D.08.已知，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.已知函数，则函数的零点是（）A-1B.0C.1D.210.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（）A.的最小值为-1B.在上单调递减C.的解集为D.存在实数x满足11.直角坐标系xOy中，已知点，则（）A.若，则B.若点P在BC上，则C若，则D.若在方向上投影向量是，则12.在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的面积为2，则（）A.B.若，则C.外接圆半径D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知a，，i是虚数单位，若，则_________．14.已知向量的夹角为60°，，则__________．15.在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则周长的最大值为__________．
16.如图，半圆O的半径为1，A为直径所在直线上的一点，且，B为半圆弧上的动点．将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，则线段OC长度的最大值是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在中，已知，BC，AC边上的中线AM，BN相交于点P．设．（1）用表示；（2）求．19.在复平面内，已知正方形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别是．（1）求点D对应的复数；（2）若________，求对应的复数．在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．①点T是的垂心．②点T是的外心．21.已知向量，设．
（1）求的单调递增区间；（2）若关于x的不等式在恒成立，求m的取值范围．23.在锐角中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且的外接圆半径为．（1）求角C；（2）求AB边上的高h．25.函数的定义域为，且存在唯一常数，使得对于任意的x总有，成立．（1）若，求；（2）求证：函数符合题设条件．27.在中，向量等式或，沟通了几何与代数的联系，利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量法的特性．（1）如图，的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c．设向量为在平面的一个单位向量，记向量与的夹角为．现构造等式，据此，请你探究及时的边和角之间的等量关系；（2）已知AD是的角平分线，请你用向量法证明：
【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】ACD【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】2【15题答案】【答案】
【16题答案】【答案】【17题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】；【小问2详解】因为AM，BN分别为BC，AC边上的中线所以点P为的重心，则由于所以，．【19题答案】【小问1详解】因为点A，B，C对应的复数分别是，所以,,,所以.设，则.因为ABCD为正方形，所以，所以，解得：，所以，即点D对应的复数.
【小问2详解】选①：因为为直角三角形，且B为直角顶点，所以的垂心为B,即,所以所以,对应的复数为；选②：因为为直角三角形，且B为直角顶点，所以的外心为斜边AC的中点,即.所以所以,对应的复数为.【21题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】因为向量，且，所以.
要求的单调递增区间，只需,解得：，即的单调递增区间为.【小问2详解】因为关于x的不等式在恒成立，所以.由（1）可知，在上单调递增，所以在上单增，在上单减，所以，所以.故m的取值范围是.【23题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】由得则，因为，则，；【小问2详解】由正弦定理得，所以由余弦定理得，又，所以；由，得．
【25题答案】【小问1详解】解：因为，所以，又，所以，又，所以，所以【小问2详解】解：因为的定义域为，假设存在常数满足，即，所以，设，显然在上单调递增，又，，所以存在唯一的常数使得，即存在唯一的常数使得函数符合题设条件；【27题答案】【小问1详解】时，,则即,即即,即
当时，，由则，即则或所以,即【小问2详解】设，如图，设,则所以设所以
