宿州市十三所重点中学2021—2022学年度第一学期期末质量检测高二数学试卷（北师大版）命题：宿城一中审核：宿城一中第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则的值为（）A．B．C．D．2．若直线与互相垂直，则实数的值为（）A．B．C．D．3．若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（）A．B．C．D．4．甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（）A．B．C．D．5．一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数的值为（）A．B．C．D．6．已知随机变，，则的值为（）A．B．C．D．7．将一枚均匀的骰子先后抛掷次，至少出现两次点数为的概率为（）A．B．C．D．8．已知点,为椭圆的左,右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（）A．B．C．D．不能确定9．在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，且所有项的系数和为，则含的项的系数为（）A．B．C．D．10．已知,为双曲线的左,右顶点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．11．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，点在线段上，则线段长的最小值为（）A．B．C．D．12．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有（）A．种B．种C．种D．种第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在答题卡的横线上.13．若随机变量，则．14．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数的值为．15．某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件为“三人竞岗部门都不同”，为“甲独自竞岗一个部门”，则．16．在单位正方体中，点为的中点，过点,,的平面截该正方体所得的截面面积为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.(本小题满分10分)已知直线与圆．（Ⅰ）当直线恰好平分圆的周长时，求的值；（Ⅱ）当直线被圆截得的弦长为时，求的值．18.(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，点在棱上移动．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当为的中点时,求直线与平面所成角的正弦值．
19.(本小题满分12分)某话剧表演小组由6名学生组成，若从这6名学生中任意选取3人，其中恰有1名男生的概率是．（Ⅰ）求该小组中男、女生各有多少人？（Ⅱ）若这6名学生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相邻的概率．20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．（Ⅰ）求点到平面的距离；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．21.(本小题满分12分)新冠疫情下，有一学校推出了食堂监管力度的评价与食品质量的评价系统，每项评价只有合格和不合格两个选项，师生可以随时进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了位师生的信息，发现对监管力度满意的占，对食品质量满意的占，其中对监管力度和食品质量都满意的有人．（Ⅰ）完成列联表，试问：是否有的把握判断监管力度与食品质量有关联?监督力度情况食品质量情况对监督力度满意对监督力度不满意总计对食品质量满意对食品质量不满意总计
（Ⅱ）为了改进工作作风，针对抽取的位师生，对监管力度不满意的人抽取位征求意见，用表示人中对监管力度与食品质量都不满意的人数，求的分布列与均值．参考公式：，其中．参考数据：①当时，有的把握判断变量、有关联；②当时，有的把握判断变量、有关联；③当时，有的把握判断变量、有关联．22.(本小题满分12分)已知点到点的距离比它到直线的距离小．（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）点在点的轨迹上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），求面积的最小值．
