2020-2021学年清远市连州市八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列各数是无理数的是( )A.0B.4C.πD.2.0⋅1⋅2.估计(33-12)×13的值在( )A.0到1之间B.1到2之间C.2到3之间D.3到4之间3.下列各式中，正确的是( )A.16=±4B.±16=4C.327=3D.(-4)2=-44.下列各组数中，不是勾股数的是( )A.4，5，6B.8，15，17C.6，8，10D.5，12，135.6位参加百米决赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前3位设奖．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否获奖，需知道其他5位同学成绩的( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差6.下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( )A.8，12，20B.2，3，4C.5，13，15D.0.3，0.4，0.57.已知直角坐标系内有一点M(a,b)，且ab=0，则点M的位置一定在( )A.原点上B.x轴上C.y轴上D.坐标轴上8.如果每盒水笔有10支，售价16元，用y(元)表示水笔的售价，x表示水笔的支数，那么y与x之间的关系应该是( )A.y=10xB.y=16xC.y=58xD.y=85x9.函数y=kx-k(k≠0)和y=-kx(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A.B.
C.D.10.生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度y(单位：cm)与观察时间x(单位：天)的关系，并画出如图所示的图象(CD//x轴)，该植物最高的高度是( )A.50cmB.20cmC.16cmD.12cm二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(8,0)，B(0,6)在坐标轴上，点P是x轴上任一点，△BPC与△BPO关于BP所在直线对称，连接AC，当△ACP是直角三角形时，点P的坐标是______．12.如图，在△ABC中，∠A=α.∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； …；∠A2011BC与∠A2011CD的平分线相交于点A2012，得∠A2012，则∠A2012=______．13.将命题“互为相反数的两个数之和等于0”写成：如果______，那么______，它的逆命题是______(真/假)命题．14.一组数据为7，9，10，8，11，则这组数据的方差为______．15.有一张三角形纸片ABC，∠A=80°，D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是______．16.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED=12，CE=GE，那么BD的长等于______．
三、计算题（本大题共2小题，共13.0分）17.解方程(组)(1)1-2x-56=3-x4(2)4x+y=153x-2y=318.某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金4320元，则甲种书柜至少可以买几个？四、解答题（本大题共7小题，共53.0分）19.计算(1)8+23-(27-2)；(2)23÷223×25；(3)12+273-(3+2)(3-2).20.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m．(1)此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．(2)为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？21.已知函数y=x+1(1)求当x=2，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0．22.长沙市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票，如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：(1)若去A地的车票占全部车票的20%，求去C地的车票数，并补全条形统计图(图1)；(2)请从小到大写出这四类车票数的数字，并直接写出这四个数据的平均数和中位数；(3)如图2，甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，李老师出去培训，否则张老师出去培训(指针指在线上重转)，试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．23.如图，直线l1的解析表达式为y=-3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．(1)求直线l2的解析表达式；(2)求△ADC的面积．24.如图，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是： (写一个即可)，并说明理由．
25.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A(5,0)，与y轴交于点B；直线y═45x+6过点B和点C，且AC⊥x轴．点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t(秒)，连接MN．(1)求直线y=kx+b的函数表达式及点C的坐标；(2)当MN//x轴时，求t的值；(3)MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度．
参考答案及解析1.答案：C解析：解：A、0是整数，属于有理数；B、4=2，是整数，属于有理数；C、π是无理数；D、2．0⋅1⋅是循环小数，属于有理数．故选：C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，2，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．2.答案：A解析：解：∵5.7<33<5.8，3.4<12<3.5，∴5.7-3.5<33-12<5.8-3.4，即2.2<33-12<3.4，∴(33-12)×13的值在0到1之间．故选：A．先估算33-12的大小，再乘13即可求解．本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．3.答案：C解析：解：A、原式=4，故A错误．B、原式=±4，故B错误．C、原式=3，故C正确．D、原式=4，故D错误．故选：C．根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的概念，解题的关键是正确理解二次根式的概念，本题属于基础题型．4.答案：D解析：解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不是勾股数，符合题意；B、82+152=172，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；C、62+82=102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；D、52+122=132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；故选：D．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．5.答案：B解析：解：由于总共有6位同学，且他们的成绩互不相同，要判断是否进入前3名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．故应知道中位数的多少．故选：B．由按成绩取前3位设奖，共有6名同学参加，故应根据中位数的意义分析．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．6.答案：D解析：解：A、∵82+122=208，202=400，208≠400，∴8，12，20不能作为直角三角形的三边长；B、∵22+32=13，42=16，13≠16，∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长；C、∵52+132=194，152=225，194≠225，∴5，13，15不能作为直角三角形的三边长；D、∵0.32+0.42=0.25，0.52=0.25，0.25=0.25，∴0.3，0.4，0.5能作为直角三角形的三边长．故选：D．分别求出四个选项中两个较小数的平方和及最大数的平方，比较后即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．7.答案：D解析：[分析]本题主要考查了点在坐标轴上时点的符号特点，注意考虑问题要全面，坐标轴上的点的特点要记清.根据坐标轴上的点的特征：至少一个坐标为0解答，[解答]解：若ab=0，则a=0，或b=0，或a，b均为0．当a=0，M在y轴上；当b=0，M在x轴上；当a，b均为0，M在原点；即点M在坐标轴上．故选D．8.答案：D解析：】解：∵一盒水笔有10支，售价16元，∴每只平均售价为85元，∴y与x之间的关系是：y=85x，故选：D．首先求出每支平均售价，即可得出y与x之间的关系．本题考查了列函数关系式，求出水笔的平均售价是解题的关键．9.答案：D解析：【试题解析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．解：由反比例函数y=-kx(k≠0)的图象在一、三象限可知，-k>0，∴k<0，∴一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限，故A、B选项错误；
由反比例函数y=-kx(k≠0)的图象在二、四象限可知，-k<0，∴k>0，∴一次函数y=kx-k的图象经过一、三、四象限，故C选项错误，D选项正确；故选：D． 10.答案：C解析：设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，∵经过点A(0,6)，B(30,12)，∴b=630k+b=12，解得k=15b=6．所以，直线AC的解析式为y=15x+6(0≤x≤50)，当x=50时，y=15×50+6=16cm．故选：C．设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，然后利用待定系数法求出直线AC线段的解析式，再把x=50代入进行计算即可得解．本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．11.答案：(-6,0)或(-12,0)或(3,0)或(6,0)．解析：解：①如图1中，当∠APC=90°时，∵∠BOP=∠OPC=∠PCB=90°，∴四边形OBCP是矩形，∵PO=PC，∴四边形OBCP是正方形，∵B(0,6)，∴OB=6，
∴OP=OB=6，∴P(-6,0)．②如图2中，当∠ACP=90°时，设PC=OP=m，∵A(8,0)，∴OA=8，∵OB=6，∠AOB=90°，∴AB=OB2+OA2=62+82=10，在Rt△ACP中，∵AP2=PC2+AC2，∴(m+8)2=m2+162，解得m=12，∴P(-12,0)，③如图3中，当点P在x轴的正半轴上，∠PCA=90°时，点C落在AB上，设OP=PC=x．则在Rt△PCA中，∵PA2=PC2+AC2，∴(8-x)2=x2+42，解得x=3，此时P(3,0)．
④如图4中，当点P在x轴的正半轴上，∠CPA=90°时，易证OP=OB=6，此时P(6,0)综上所述，满足条件的点P的坐标为(-6,0)或(-12,0)或(3,0)或(6,0)．故答案为(-6,0)或(-12,0)或(3,0)或(6,0)．分两种情形：①如图1中，当∠APC=90°时，②如图2中，当∠ACP=90°时，③如图3中，当点P在x轴的正半轴上，∠PCA=90°时，点C落在AB上．④如图4中，当点P在x轴的正半轴上，∠CPA=90°时，分别求解即可．本题考查坐标与图形的性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．12.答案：α22012解析：解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A1+∠A1BC=∠A1CD，∴∠A1+∠A1BC=∠A1+12∠ABC=12(∠A+∠ABC)，整理得，∠A1=12∠A=α2，同理可得，∠A2=12∠A1=12×α2=α22，…，∠A2012=α22012．故答案为：α22012．
根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACD，∠A1+∠A1BC=∠A1CD，然后整理即可得到∠A1与∠A的关系，同理得到∠A2与∠A1的关系并依次找出变化规律，从而得解．本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．13.答案：两个数互为相反数 这两个数和为0 真解析：解：将命题“互为相反数的两个数之和等于0”写成：如果两个数互为相反数，那么这两个数和为0，其逆命题是如果两个数和为0，那么它们和为0，是真命题，故答案为：两个数互为相反数，这两个数和为0，真．将题设写在如果后面，结论写在那么后面即可．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题，难度不大．14.答案：2解析：解：∵数据7，9，10，8，11的平均数为15(7+9+10+8+11)=9，∴这组数据的方差为15×[(7-9)2+(9-9)2+(10-9)2+(8-9)2+(11-9)2]=2，故答案为：2．先计算出这组数据的平均数，再计算方差即可．本题考查了方差，注意：当数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变．15.答案：40°或25°或10°解析：解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，∴∠C=12(180°-100°)=40°，②AB=AD，此时∠ADB=12(180°-∠A)=12(180°-80°)=50°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，∴∠C=12(180°-130°)=25°，③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，
∴∠C=12(180°-160°)=10°，综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°．故答案为：25°或40°或10°．分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．16.答案：2+5解析：解：如图，过点A作AH⊥CE于H．∵tan∠CED=12=tan∠BAC，∴∠E=∠BAC，∵CE=EG，∴∠CGE=∠ECG，∵∠BAC+∠GAK=180°，∴∠E+∠GAK=180°，∴∠AGE+∠AKE=180°，∵∠AKE+∠AKC=180°，∴∠AKC=∠CGE，∴∠AKC=∠ACK，∴AC=AK=2，∵AH⊥CK，∴KH=CH，∵∠AHE=∠DCK=90°，∴AH//CD，∴KA=AD，∴DK=2AK=4，AD=AK=2，∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2，∴AB=AC2+BC2=22+12=5，∴BD=AB+AD=2+5，
故答案为：2+5．如图，过点A作AH⊥CE于H.想办法证明AK=AC，推出HK=CH，推出AK=AD=2，即可解决问题．本题考查解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．17.答案：解：(1)12-2(2x-5)=3(3-x)，12-4x+10=9-3x，-4x+3x=9-12-10，-x=-13，x=13；(2)4x+y=15①3x-2y=3②，①×2+②，得：11x=33，解得：x=3，将x=3代入①，得：12+y=15，解得：y=3，则方程组的解为x=3y=3．解析：(1)依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1计算可得；(2)利用加减消元法求解可得．本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的解法，根据题目系数特点，可灵活选用代入法和加减法．18.答案：解：(1)设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，3x+2y=10204x+3y=1440，解得：x=180y=240，答：设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．(2)设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买(20-m)个；由题意得：180m+240(20-m)≤4320，解得：m≥8，答：甲种书柜至少可以买8个．
解析：(1)设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可；(2)设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买(20-m)个．根据：学校至多能够提供资金4320元，列出不等式，解不等式即可得出答案．本题主要考查二元一次方程组、不等式的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．19.答案：解：(1)原式=22+23-33+2=32-3．(2)原式=23÷83×25=110=1010．(3)原式=4+9-(3-2)=2+3-3+2=4．解析：(1)先化为最简二次根式，然后根据二次根式的运算法则即可求出答案．(2)根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．(3)根据二次根式的运算法则即可求出答案．本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．20.答案：解：(1)如图，M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，CD=MN=1.6米，AB=2米，由作法得，CE=DE=0.8米，又∵OC=OA=1米，在Rt△OCE中，OE=OC2-CE2≈0.6(米)，∴CM=2.3+0.6=2.9>2.5．∴这辆卡车能通过．(2)如图：根据题意可知：CG=BE=2.8米，BG=OF=1.2米，EF=AD=2.3米，
∴BF=0.5米∴根据勾股定理有：OA2=OB2=BF2+OF2=0.52+1.22=1.32(米)，∴OA=1.3米，∴桥洞的宽至少增加到1.3×2=2.6(米)．解析：(1)过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案；(2)根据已知条件求出BF的长，再根据勾股定理求出OA的长，从而得出答案．本题考查了垂径定理和勾股定理：掌握垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．21.答案：解：(1)当x=2时，y=x+1=2+1=3，当x=-3时，y=x+1=-3+1=-2；(2)由题意得：y=x+1=0，解得：x=-1．解析：(1)当x=2时，y=x+1，即可求解；(2)由题意得：y=x+1=0，即可求解．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，通常把点坐标代入函数表达式即可求解．22.答案：解：(1)∵全部车票数为20÷20%=100(张)，∴去C地车票数为100-(20+40+10)=30(张)，补全图形如下：(2)从小到大写出这四类车票数的数字为：10、20、30、40，则这四个数据的平均数为10+20+30+404=25，中位数为20+302=25；(3)根据题意列表如下：
因为两个数字之和是偶数时的概率是612=12，∴李老师出去培训的概率和张老师出去培训的概率相等，均为12，故这个规定对双方是公平的．解析：(1)先由去A地的车票占全部车票的20%求出车票总数，总数量减去A、B、D的数量即可求得C的数量，从而补全图形；(2)将四个数字从小到大排列，根据平均数和中位数的概念求解可得；(3)根据题意用列表法分别求出当指针指向的两个数字之和是偶数时的概率，即可求出这个规定对双方是否公平．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．23.答案：解：(1)设l2的表达式为y=kx+b，由图可知经过点A(4,0)、B(3,-32)，∴4k+b=03k+b=-32，解得k=32b=-6，∴直线l2的解析表达式为：y=32x-6；(2)当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，∴点D的坐标是(1,0)，直线l1的解析表达式与直线l2的解析表达式联立得，y=-3x+3y=32x-6，解得x=2y=-3，∴点C的坐标是(2,-3)，∴△ADC的面积=12×(4-1)×|-3|=12×3×3=92．故答案为：(1)y=32x-6，(2)92．解析：(1)根据图形，直线l2经过点A、B，利用待定系数法求解即可；
(2)根据直线l1的解析表达式为y=-3x+3求出点D的坐标，再两直线解析式联立方程组求出点C的坐标，利用三角形的面积公式求解即可．本题考查了直线相交的问题与待定系数法求函数解析式，难度不大，关键是求出点的坐标．24.答案：解：可添加AC=AD．理由如下：在△ABC和△ABD中，AC=AD∠CAB=∠DABAB=AB，∴△ABC≌△ABD(SAS)．故答案为：AC=AD．解析：根据AB=AB，然后根据“边角边”的判定方法添加条件即可．25.答案：解：(1)∵AC⊥x轴，点A(5,0)，∴点C的横坐标为5，对于y═45x+6，当x=5时，y=45×5+6=10，对于x=0，y=6，∴点C的坐标为(5,10)，点B的坐标为(0,6)，直线y=kx+b与x轴交于点A(5,0)，与y轴交于点B(0,6)，则5k+b=0b=6，解得，k=-65b=6，∴直线y=kx+b的函数表达式为y=-65x+6，综上所述，直线y=kx+b的函数表达式为y=-65x+6，点C的坐标为(5,10)；(2)由题意得，BM=2t，AN=3t，∴OM=6-2t，∵OM//AN，MN//x轴，∴四边形MOAN为平行四边形，∴OM=AN，∴6-2t=3t，解得，t=65，
∴当MN//x轴时，t=65；(3)线段CD的长度不变化，理由如下：过点D作EF//x轴，交OB于E，交AC于F，∵EF//x轴，BM//AN，∠AOE=90°，∴四边形EOAF为矩形，∴EF=OA=5，EO=FA，∵BM//AN，∴△BDM∽△ADN，∴DEDF=BMAN=23，∵EF=5，∴DE=2，DF=3，∵BM//AN，∴△BDE∽△ADF，∴BEFA=DEDF=23，∴BEEO=23，∵OB=6，∴EO=FA=185，∴CF=AC-FA=325，∴CD=DF2+CF2=12495．解析：(1)根据AC⊥x轴，求出点C的横坐标为5，代入解析式求出纵坐标，得到点C的坐标，利用待定系数法求出k、b，得到直线y=kx+b的函数表达式；(2)根据题意用t表示出BM、AN，根据平行四边形的性质列出方程，解方程得到答案；(3)过点D作EF//x轴，交OB于E，交AC于F，证明△BDM∽△ADN，根据相似三角形的性质得到DE=2，DF=3，证明△BDE∽△ADF，求出FA，得到CF的长，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
