2020-2021学年柳州市八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在3×4的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有( )A.7处B.4处C.3处D.2处2.用下列长度的三根铁条首尾顺次连结，不能做成三角形框架的是( )A.3cm，10cm，8cmB.3cm，8cm，8cmC.3cm，3cm，8cmD.10cm，10cm，8cm3.下列运算正确的是( )A.a2⋅a3=a5B.a6÷a3=a2C.(a3)2=a5D.a5+a5=a104.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是( )A.∠1>∠2>∠3B.∠3>∠1>∠2C.∠2>∠1>∠3D.∠3>∠2>∠15.如图，△ABC中，AD是中线，BC=4，∠B=∠DAC，则线段AC的长为( )A.22B.2C.3D.236.已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：其正确的个数有( )个①∠APE=∠C，②AQ=BQ，,③△ABD≌△BCE，④AE+BD=AB，A.1B.2C.3D.47.已知x，y是非零实数，则下列计算正确的是( )A.-x-y=-xyB.1x+1y=1x+yC.x2y÷(xy2)=xy-1D.x2×(-y)2=-xy8.20202-2021×2019的计算结果是( )A.-1B.1C.-2D.29.如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是( )A.10B.8C.6D.410.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂直分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③S△BFD：S△CED=BF：CE；④EF一定平行BC.其中正确的个数有( )个A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.分式a-ba+1的值为零时，实数a、b满足______条件．12.10. 4月25日，尼泊尔发生8.1级强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失。“一方有难，八方支援，”中国政府决定向尼泊尔政府提供2000万元人民币紧急人道主义物资援助，将2000万用科学记数法表示为__________________．13.已知a2n=4，b2n=9，则an⋅bn的值为______．14.若∠A与∠O的两边互相垂直，且∠A是∠O的3倍，则∠A=______，∠O=______．,15.如图，在△ABC中，AB=10，AC=5，AD是角平分线，CE是高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，若DF=83，则线段CE的长是______．16.写出一个第二象限内的点的坐标：(______，______).三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）17.分解因式：(1)； (2)；(3)； (4)18.解方程：(1)32x=2x-1(2)x-2x+2-16x2-4=1．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）19.(1)已知m2-n2=24，m+n=8，求m-n的值；(2)已知xy=5，x+y=6，求x-y的值．20.几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．,方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B交l于点P，则PA+PB=A'B的值最小(不必证明)．模型应用：(1)如图2，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴．现在有∠AOC=90°，OA=3，OB=4，P为∠AOC的角平分线上一动点，请求出AP+PB的最小值．(2)①如图3，∠AOB=30°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，请直接写出△PQR周长的最小值______．②如图4，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是______．21.如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，其交点为O，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD的长度，请说明理由．22.某手机店经销的A品牌手机九月份售价比八月份每台降价500元，如果卖出相同数量的A品牌手机，那么八月份销售额为9万元，九月份销售额只有8万元．(1)八月份A品牌手机每台售价为多少元？(2)为了扩大经营，该店计划十月份购进B品牌手机销售，已知A品牌手机每台进价为3500元，B品牌手机每台进价为4000元，该手机店打算用10万元再购进一批A品牌手机和B品牌手机，问购进A品牌手机10台后至多还能购进多少台B品牌手机？,23.内乡县教研室在推进以“学⋅导⋅练三三课堂”为核心的高效课堂建设中倡导研究性学习方式，提高学习能力和创新能力，下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成后面的问题．⋅操作发现：(1)已知△ABC如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，BE，CD交于点M，请你完成作图(要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹)并填空，线段BE，CD的大小关系是______，∠BMC的度数是______度．⋅类比探究：(2)如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，CE，BG交于点M，请判断线段CE，BG的数量关系及∠BMC的度数？并说明理由．⋅灵活运用：(3)如图3，已知△ABC中，AB=22，BC=3，∠ABC=45°，把边AC绕点A按逆时针方向旋转90°得线段AE，连接CE，BE，请直接写出线段BE的长．,参考答案及解析1.答案：A解析：解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有①下1；②下2；③中3；④中4；⑤上5；⑥上6；⑦上7．选择的位置共有7处．故选：A．根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.答案：C解析：解：A、8+3>10，能构成三角形，故此选项不符合题意；B、8+3>8，能构成三角形，故此选项不符合题意；C、3+3<8，不能构成三角形，故此选项符合题意；D、8+10>10，能构成三角形，故此选项不符合题意．故选：C．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3.答案：A解析：解：A、原式=a5，故A符合题意．B、原式=a3，故B不符合题意．C、原式=a6，故C不符合题意．D、原式=2a5，故D不符合题意．故选：A．根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．,本题考查整式的加减运算以及乘法运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．4.答案：D解析：解：如图，BD交圆于点G，连接CG，延长BE交圆于点F，连接CF，则由圆周角定理知，∠A=∠BGC=∠F，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和知，∠BGC=∠2=∠D+∠GCD=∠1+∠GCD，∠3=∠F+∠FCE=∠2+∠FCE，∴∠1<∠2<∠3．作出如图所示辅助线，再根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”和“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角”，此题可解．本题利用了三角形的外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5.答案：A解析：解：∵AD是中线，∴BD=DC=2，∵∠C=∠C，∠CAD=∠B，∴△CAD∽△CBA，∴CACB=CDCA，∴CA2=CD⋅CB=2×4=8，∵AC>0，∴AC=22，故选：A．只要证明△CAD∽△CBA，可得CACB=CDCA，推出CA2=CD⋅CB即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的中线的定义等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．6.答案：C解析：解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，,在△ABE和△CAD中，AB=AC∠BAE=∠C=60°AE=CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)，∴∠1=∠2，∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，∴∠APE=∠C=60°，故①正确；∵BC=AB，∠C=∠ABC，EC=BD，∴△ABD≌△BCE(SAS)，故③正确，∵AC=BC.AE=DC，∴BD=CE，∴AE+BD=AE+EC=AC=AB，故④正确，无法判断BQ=AQ，故②错误，故选：C．根据全等三角形的判定定理和性质进行判断即可．本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．7.答案：C解析：解：A、-x-y=-(x+y)，故此选项错误；B、1x+1y=x+yxy，故此选项错误；C、x2y÷(xy2)=xy-1，正确；D、x2×(-y)2=|xy|，故此选项错误；故选：C．利用去括号法则以及分式的加减运算法则和整式的除法运算分别化简二次根式．此题主要考查了去括号法则以及分式的加减运算法则和整式的除法运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．8.答案：B解析：解：原式=20202-(2020+1)(2020-1)=20202-20202+1=1．故选：B．先将2021×2019变形为(2020+1)(2020-1)，然后根据平方差公式计算即可得到答案．此题考查的是平方差公式，记住公式是解决此题的关键．,9.答案：C解析：解：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EADAD=AD∠BDA=∠EDA，∴△ABD≌△AED(ASA)，∴BD=DE，∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，∴S△ADC═12S△ABC=12×12=6，故选C．延长BD交AC于点E，则可证△ABD≌△AED(ASA)，则S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=12S△ABC．本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用．10.答案：C解析：此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．由△ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，由Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，推出AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③S△BFD：S△CED=BF：CE；无法判断EF//BC，故④错误．解：①∵△ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，∠AFD=∠AED=90°，∵AD=AD，∴Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，∴AF=AE，,∴∠AFE=∠AEF，故正确；②∵DF=DE，AF=AE，∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF，故正确；③∵S△BFD=12BF⋅DF，S△CDE=12CE⋅DE，DF=DE，∴S△BFD：S△CED=BF：CE，故正确；④∵∠EFD不一定等于∠BDF，∴EF不一定平行BC.故错误．故选：C． 11.答案：a=b且a≠-1解析：解：依题意得，a-b=0且a+1≠0，解得a=b且a≠-1．故答案是：a=b且a≠-1．分式的值为零时：分式的分子等于零，且分母不等于零．本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．12.答案：解：2000万元=20000000元，用科学记数法表示为：则答案为元.解析：本题考查科学记数法的应用，难度不大，将2000万元写成以元为单位的数字，再使用科学记数法表示即可，注意在使用科学记数法时，系数为大于等于1，小于10的数．13.答案：6或-6解析：解：∵a2n=4，b2n=9，∴(an)2=4，(bn)2=9，∴an=±2，bn=±3，∴an⋅bn的值为6或-6．,故答案为：6或-6．已知等式变形求出an与bn的值，代入原式计算即可得到结果．此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.答案：135°；45°解析：解：∵∠A与∠O的两边两两互相垂直，∴∠A=∠O或∠A+∠O=180°，∵∠A是∠B的3倍，∴∠A+∠O=180°，设这两个角的度数分别为x°，y°，x+y=180x=3y，解得x=135°y=45°，故答案为：135°；45°．根据∠A与∠O的两边两两互相垂直，可得∠A=∠O或∠A+∠O=180°，再根据∠A是∠O的3倍，可确定∠A+∠O=180°，再列出方程组，解方程组即可．此题主要考查了多边形的内角与外角，两个角的两边互相垂直，则这两个角一定互补或相等．15.答案：4解析：解：∵AD是角平分线，∴BDCD=ABAC=105=2，∵CE是高，DF⊥AB，∴DF⊥CE，∴DFCE=BDBC=23，∴CE=32DF=32×83=4．故答案为4．先利用角平分线的性质得到BDCD=ABAC=2，则根据平行线分线段成比例定理得到DFCE=BDBC，然后利用比例性质可求出CE的长．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三角形的角平分线把这个角的对边分得的两段的比等于这个角的两边的比．16.答案：-1 1,解析：解：(-1,1)为第二象限的点的坐标．故答案为：-1，1(答案不唯一)．根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(-,+)；第三象限(-,-)；第四象限(+,-)．17.答案：解：(1)2x2-x=x(2x-1)(2)16x2-1=(4x)2-1=(4x+1)(4x-1)(3)6xy2-9x2y-y3=-y(9x2-6xy+y2)=-y(3x-y)2(4)4+12(x-y)+9(x-y)2=22+12(x-y)+[3(x-y)]2=[2+3(x-y)]2=(3x-3y+2)2解析：本题考查因式分解.(1)用提公因式法分解，提公因式x;(2)用平方差公式分解，因16x2=(4x)2，就可用平方差公式分解;(3)先提公因式-y，再用完全平方公式分解，这里要注意，提取公因式后一定要继续分解;(4)把(x-y)看做一个整体，就可用完全平方公式分解．解：(1)2x2-x=x(2x-1)(2)16x2-1,=(4x)2-1=(4x+1)(4x-1)(3)6xy2-9x2y-y3=-y(9x2-6xy+y2)=-y(3x-y)2(4)4+12(x-y)+9(x-y)2=22+12(x-y)+[3(x-y)]2=[2+3(x-y)]2=(3x-3y+2)218.答案：解：(1)去分母得：3x-3=4x，解得：x=-3，经检验x=-3是分式方程的解；(2)去分母得：x2-4x+4-16=x2-4，解得：x=-2，经检验x=-2是增根，分式方程无解．解析：两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19.答案：解：(1)∵m2-n2=(m+n)(m-n)=24，m+n=8，∴m-n=m2-n2m+n=248=3；(2)∵xy=5，x+y=6，∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=62-4×5=16，x-y=±4．解析：(1)运用平方差公式计算即可；(2)根据完全平方公式计算即可．,本题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．20.答案：(1)∠AOC的平分线为OD，作AA'⊥OD交OC于A'，连接BA'交OD于P，连接PA，如图2，则PA+PB最短，此时PA+PB=BA'，∵OD平分∠AOC，AA'⊥OD，∴OA'=OA=3，在Rt△OBA'中，BA'=32+42=5，即AP+PB的最小值为5；(2)10；2．解析：解：(1)∠AOC的平分线为OD，作AA'⊥OD交OC于A'，连接BA'交OD于P，连接PA，如图2，则PA+PB最短，此时PA+PB=BA'，∵OD平分∠AOC，AA'⊥OD，∴OA'=OA=3，在Rt△OBA'中，BA'=32+42=5，即AP+PB的最小值为5；(2)①作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P″，连接P'P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，则OP=OP'，OP=OP″，RP=RP'，QP=QP″，∴△PQR周长=PR+RQ+PQ=RP'+RQ+QP″=P'P″，∴此时△PQR周长最小，最小值为P'P″的长，∵OP=OP'，OP=OP″，PP'⊥OB，PP″⊥OA，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P'OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°，∴△P'OP″为等边三角形，∴P'P″=OP'=OP=10，,即△PQR周长的最小值为10；②作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OB于P，交OA于Q，连接PM、NQ，如图4，则OM=OM'=2，ON=ON'=2，PM=PM'，QN=QN'，∴MP+PQ+QN=PM'+PQ+QN'=M'N'，∴此时MP+PQ+QN的值最小，最小值为M'N'，∵OM=OM'，ON=ON'，MM'⊥OB，NN'⊥OA，∴∠M'OB=∠AOB=20°，∠N'OA=∠AOB=20°，∴∠M'ON'=60°，∴△M'ON'为等边三角形，∴M'N'=OM'=2，即MP+PQ+QN的值最小为2．故答案为10，2．(1)∠AOC的平分线为OD，作AA'⊥OD交OC于A'，连接BA'交OD于P，连接PA，如图2，利用题中模型得到PA+PB最短，此时PA+PB=BA'，利用对称的性质得到OA'=OA=3，然后利用勾股定理计算出BA'即可；(2)①作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P″，连接P'P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，利用对称的性质得到△PQR周长=P'P″，根据两点之间线段最短可判断此时△PQR周长最小，最小值为P'P″的长，再证明△P'OP″为等边三角形得到P'P″=OP'=OP=10，从而得到△PQR周长的最小值；②作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OB于P，交OA于Q，连接PM、NQ，如图4，同样方法判断此时MP+PQ+QN的值最小，最小值为M'N'，再证明△M'ON'为等边三角形得到M'N'=OM'=2，从而得到MP+PQ+QN的最小值．本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题．21.答案：解：∵两根钢条AB，CD的中点O连在一起，∴OA=OB，OC=OD，在△AOC与△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，,∴△AOC≌△BOD(SAS)．∴AC=BD．解析：因为是用两钢条AB，CD的中点O中点连在一起做成一个测量工件，可求出两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是SAS．本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．22.答案：解：(1)设八月份A品牌手机每台售价为x元，则九月份A品牌手机每台售价为(x-500)元，根据题意得：90000x=80000x-500，解得：x=4500，经检验，x=4500是原分式方程的解．答：八月份A品牌手机每台售价为4500元．(2)设购进A品牌手机10台后还能购进y台B品牌手机，根据题意得：3500×10+4000y≤100000，解得：y≤654．∵y为整数，∴y取最大整数值为16．答：购进A品牌手机10台后至多还能购进16台B品牌手机．解析：(1)设八月份A品牌手机每台售价为x元，则九月份A品牌手机每台售价为(x-500)元，根据数量=总价÷单价结合八、九月份的销售数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设购进A品牌手机10台后还能购进y台B品牌手机，根据总价=单价×数量结合购机总费用不超过10万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23.答案：BE=CD 120解析：解：(1)作图如下，,猜想：BE=CD．理由：∵AB=AD.AC=AE，∠DAB=∠EAC，∴∠DAC=∠EAB，在△ACD和△AEB中，DA=AB∠DAC=∠EABAC=AE，∴△ACD≌△AEB，∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°，∴∠BMC=∠BDC+∠DBE=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ABD+∠ADB=120°故答案为BE=CD，120；(2)结论：CE=BG，．理由：在正方形ABDE和正方形ACFG中，设CE交BG于O，EC交AB于K．∵AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°，在△ACE和△AGB中，AE=AB∠EAC=∠BAGAC=AG，∴△ACE≌△AGB，∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，∵∠AKE=∠BKO，∴∠BOK=∠EAK=90°，,∴∠BMC=90°；(3)以AB为腰向外作等腰直角三角形Rt△ABG，连接CG．由旋转知AE=AC，∠EAC=90°，在Rt△ABG中，∵AB=AG=22，∴BG=AB2+AG2=4，∵∠GBA=∠ABC=45°，∴∠GBC=90°，∴CG=BG2+BC2=5，∵AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠EAC=90°，∴∠GAC=∠EAB，在△GAC和△BAE中，AG=AB∠GAC=∠EABAC=AE，∴△GAC≌△BAE，∴CG=BE，∵CG=5，∴BE=5．(1)如图所示，结论：BE=CD.只要证明△DAC≌△EAB，最后用三角形的外角即可得出结论；(2)结论：CE=BG且EC⊥BG.在正方形ABDE和正方形ACFG中，设CE交BG于O，EC交AB于K.只要证明△ACE≌△AGB即可解决问题；(3)以AB为腰向外作等腰直角三角形Rt△ABG，连接CG.首先求出CG，再证明△AGC≌△ABE，即可推出CG=BE．本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形，属于中考压轴题．,
