河北省部分名校2021-2022学年高二上学期期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册前三章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线经过原点和点，则的斜率是（）A.0B.-1C.1D.不存在2.双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.3.已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（）A.B.C.D.4.已知直线，直线，则与之间的距离为（）A.B.C.D.5.已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为（）A.B.C.D.
6.若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，7.已知双曲线的左､右焦点分别为，，是双曲线右支上的一点，且的周长为，则双曲线的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.8.在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为（）A.B.C.2D.4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是（）A.B.C.D.直线，夹角的余弦值为10.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则（）A.B.C.直线的斜率为1D.直线的斜率为411.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过作直线与轴垂直，且交于，两点，若三角形的外接圆与轴的一个交点坐标为，则（）
A.B.C.四边形的面积为5D.四边形的面积为1012.已知，，若圆上存在点，使得，则的值可能为（）A.1B.3C.5D.7三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.抛物线上的点到其准线的距离为2，则______.14.过点且与圆相切的直线方程为______.15.椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上，（为坐标原点），，则椭圆的长轴长为______.16.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折到的位置，使得四面体为鳖臑，若为的重心，则直线与平面所成角的正弦值为______.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知直线过点.（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.18.（12分）在①双曲线的焦点在轴上，②双曲线的焦点在
轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，.（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线与双曲线的渐近线相同，______，且的焦距为4，求双曲线的实轴长.注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（12分）已知圆，直线.（1）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；（2）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，求的取值范围.20.（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，且.（1）证明：平面平面.（2）求二面角的正弦值21.动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）如果圆被曲线所覆盖，求圆半径的最大值.22.设抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点.（1）若，求的方程.（2）以，为切点分别作抛物线的两条切线，证明：两条切线的交点一定在定直线上，且.河北省部分名校2021-2022学年高二上学期期中考试
数学参考答案1.B因为直线经过原点和点，所以的斜率.2.D双曲线的渐近线方程为.3.A由题可得，，所以.4.A直线的方程可化为，则直线与之间的距离.5.C因为是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，所以圆心坐标为，半径.故所求圆的标准方程为.6.C选项A，，所以，，共面；选项B，，所以，，共面；选项D，，共线，则，，共面.7.A设双曲线的焦距为，由题可知解得，，所以，则，所以双曲线的离心率的取值范围为.8.B设平面的法向量为，则所以令，则，，所以以是平面的一个法向量.点到平面的距离，故该三棱柱的高为.
9.ABC，，故选ABC.10.AC由题意可得，整理可得.设，，则，，两式相减可得.因为直线与直线的交点恰好为线段的中点，所以，则直线的斜率.11.BD抛物线的焦点为，因为与轴垂直，所以，的横坐标均为，代入抛物线方程求得其纵坐标为，不妨设，，结合三角形的对称性可知，，所以，则，解得.四边形的面积为.12.BCD设点，由，所以，则，即点是以为圆心，为半径的圆上一点.圆，可化为，因为是圆上一点，所以，解得.
13.4由抛物线可得准线方程为.因为点到其准线的距离为2，所以，解得.14.可化为，其圆心为，半径为.因为点在圆上，所以切线的斜率满足，解得，则切线方程为，即.15.由，得，则，所以.设，，则，，所以，所以，解得，所以椭圆的长轴长为.16.在直角中，为斜边上的高，，，则，，，，即在四面体中，，，，，，则.要使四面体为鳖臑，根据三角形中大边对大角，可知需要平面，此时，，，为直角，满足四面体为鳖臑，则.
如图，在长､宽､高分别为，1，的长方体中作出四面体，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设为平面的一个法向量，则令，则，，所以.又，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.解：（1）设直线的方程为3，则，解得，所以直线的方程为.（2）当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即.当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，所以直线的方程是.综上，所求直线的方程为或.18.解：（1）设双曲线的方程为，则解得所以双曲线的方程为
（2）双曲线的渐近线方程为.选①，设双曲线的标准方程为，所以解得，.所以双曲线的实轴长为2.选②，设双曲线的标准方程为所以解得，，所以双曲线的实轴长为.19.解：（1）由，可得.由得即直线过定点.可化为，因为圆心，所以，又因为当所截弦长最短时，，所以，所以直线的方程为.（2）因为圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，所以，解得或，即的取值范围为.20.（1）证明：平面，.又，，，，
，.易知，，即.又，且，平面.又平面，平面平面.（2）解：平面，.又，易知，.如图，连接.平面，，.又，，.平面，，，过点作交于点，易知.以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，，，，，.设平面的法向量为，则可取平面的一个法向量为.又平面，平面的一个法向量为.设二面角的平面角为，则，，二面角的正弦值为.
21.解：（1）设，，则，，.由，得，.因为在圆上，所以.故的方程为.（2）设是曲线上任意一点，则，所以当时，.所以圆半径的最大值为.22.解：由题意得，设直线的方程为，，，联立消元得，所以，.（1）因为，由题设知，解得，所以的方程为.（2）设与抛物线相切的切线方程为，则化简得.由，可得.将点坐标代入方程，可得，，所以过的切线方程为.
同理，过的切线方程为，联立方程组可得，，所以交点在定直线上.当时，显然成立；当时，，则，所以.综上所述，.
