2021-2022学年江苏省无锡市侨谊教育集团八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．在中，无理数的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列各式中，正确的是（ ）A．B．C．D．4．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°5．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，直线MN垂直平分边AC，分别交AB，AC于点D，E，则∠BCD＝（ ）A．10°B．15°C．20°D．25°6．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（ ）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠FB．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DFC．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFD．AC＝DF，∠B＝∠F，∠A＝∠D
7．下列说法中：①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合；②线段是轴对称图形；③有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称；④关于某条直线对称的两个图形一定分别位于该直线的两侧．正确有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝40°，则∠EPF的度数为（ ）A．90°B．95°C．100°D．105°9．在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（ ）A．不变B．变小C．变大D．先变大后变小10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）A．①②B．②③C．①②③D．①③
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．9的平方根是 ．12．已知：如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充条件 ，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD．13．数据1.44×106是四舍五入得到的近似数，其精确的数位是 ．14．一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是 ．15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若△ABC的面积为9，DE＝2，AB＝5，则AC长是 ．16．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为 ．17．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，EF＝BF，则∠EFC＝ °．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，连接DE，过点D作DF⊥DE交BE于点F，G为BE中点，连接AF，DG．则AF，DG关系是 ．三、解答题（本大题有7小题，共66分）
19．计算：（1）；（2）．20．如图，点B、D、C在一条直线上，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC．（1）求证：BC＝DE；（2）若∠B＝70°，求∠EDC．21．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有 个；（3）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？23．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H．（1）求证：BG＝CH；（2）若AB＝12，AC＝8，求AG的长．24．以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）；（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是 ．25．（1）如图①，△ABC是等边三角形，M为边BC的中点，连接AM，将线段AM顺时针旋转120°，得到线段AD，连接BD；点N在BC的延长线上，且CN＝MC，连接
AN．求证：BD＝AN．（2）若将问题（1）中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”，其他条件不变，结论还成立吗？如果成立，请画出图形并给出证明；如果不成立，请举出反例．
参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：C．2．在中，无理数的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：﹣0.101101110111是有限小数，属于有理数；＝2，0是整数，属于有理数；故在中，无理数有，，共2个．故选：B．
3．下列各式中，正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】先利用开方、平方运算逐个计算，再得结论．解：∵＝4≠±4，故选项A错误；（﹣）2＝2≠4，故选项B错误；＝5≠﹣5，故选项C错误；＝﹣3，故选项D正确．故选：D．4．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°【分析】此题要分情况考虑：40°是等腰三角形的底角或40°是等腰三角形的顶角．再进一步根据三角形的内角和定理进行计算．解：当40°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是40°；当40°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣40°×2＝100°．故选：C．5．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，直线MN垂直平分边AC，分别交AB，AC于点D，E，则∠BCD＝（ ）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】由AB＝AC，∠A＝50°得出∠ACB＝65°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AD＝CD，推出∠ACD＝∠A＝50°，即可得出∠BCD＝15°．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝∠B＝＝65°，∵直线MN垂直平分边AC，
∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝50°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°，故选：B．6．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（ ）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠FB．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DFC．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFD．AC＝DF，∠B＝∠F，∠A＝∠D【分析】根据各个选项和全等三角形的判定可以解答本题．解：A、AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F，可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；C、AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、AC＝DF，∠B＝∠F，∠A＝∠D，不能证明△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；故选：D．7．下列说法中：①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合；②线段是轴对称图形；③有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称；④关于某条直线对称的两个图形一定分别位于该直线的两侧．正确有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称的定义：两个图形沿一条直线对着，直线两旁的部分能完全重合，那么这两个图形成轴对称进行判断即可．解：①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，正确；②线段是轴对称图形，正确；③有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在的直线对称，故原说法错误；④关于某条直线对称的两个图形不一定分别位于该直线的两侧，故原说法错误；所以正确的个数是2个．故选：B．8．如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝40°，则∠EPF的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCE，根据直角三角形的性质得到PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可．解：∵CE⊥BA，∠B＝40°，∴∠BCE＝50°，∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝100°，故选：C．9．在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（ ）A．不变B．变小C．变大D．先变大后变小【分析】在AC上截取CN＝AE，连接FN，易证AD＝EN，DE＝EF，由∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED120°﹣∠AED，得出∠ADE＝∠NEF，由SAS证得△ADE≌△NEF，得出AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，推出FN＝CN，求出∠ECF＝30°，即可得出结果．解：在AC上截取CN＝AE，连接FN，如图所示：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝AC，∵BD＝2AE，∴AD＝EN，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝EF，∠DEF＝60°，∵∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∴∠ADE＝∠NEF，在△ADE和△NEF中，，∴△ADE≌△NEF（SAS），∴AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，∴FN＝CN，∴∠NCF＝∠NFC，∵∠FNE＝∠NCF+∠NFC＝60°，∴∠NCF＝30°，即∠ECF＝30°，故选：A．10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，在△HAO和△FAO中，，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB+AC+BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，③正确．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．9的平方根是 ±3 ．【分析】直接利用平方根的定义计算即可．解：∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3．故答案为：±3．
12．已知：如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充条件 AC＝BD ，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD．【分析】根据SAS的判定方法可得出答案．解：补充条件AC＝BD．理由：在△ABC和△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS）．故答案为：AC＝BD．13．数据1.44×106是四舍五入得到的近似数，其精确的数位是 万位 ．【分析】把题目中的数据还原为原来的数据，从而可以得到题目中的数据精确到哪一位，本题得以解决．解：∵1.44×106＝1440000，∴1.44×106精确到万位，故答案为：万位．14．一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是 10 ．【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长＝2+4+4＝10，综上所述，它的周长是10．故答案为：10．15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若△ABC的面积为9，DE＝2，AB＝5，则AC长是 4 ．
【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF＝2，∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，∵△ABC的面积为9，∴△ADC的面积为9﹣5＝4，∴AC×DF＝4，∴AC×2＝4，∴AC＝4故答案为：4．16．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为 67.5°或22.5° ．【分析】分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．解：有两种情况；（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB＝90°，已知∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°，已知∠HFE＝45°，∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠G＝×（180°﹣135°）＝22.5°，故答案为：67.5°或22.5°．17．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，EF＝BF，则∠EFC＝ 45 °．【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，又由BE⊥
AC，可求得∠A＝∠ABE＝45°，然后由AB＝AC，BF＝EF，求得答案．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠A＝∠ABE，∵BE⊥AC，∴∠A＝∠ABE＝45°，∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C＝67.5°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°，∵BF＝EF，∴∠BEF＝∠EBC＝22.5°，∴∠EFC＝∠EBC+∠BEF＝45°．故答案为：45．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，连接DE，过点D作DF⊥DE交BE于点F，G为BE中点，连接AF，DG．则AF，DG关系是 AF＝2DG且AF⊥DG ．【分析】延长DG至M，使GM＝DG，交AF于H，连接BM，根据题意证明△DAE≌△DBF，推出∠DEF＝∠DFE＝45°，利用SAS证明△BGM≌△EGD（SAS），得出∠MBE＝∠FED＝45°＝∠EFD，BM＝DE＝DF，再利用SAS证明△BDM≌△DAF（SAS），得出DM＝AF＝2DG，∠FAD＝∠BDM，证出∠AHD＝90°，即可得出结论．解：AF＝2DG，且AF⊥DG；理由如下：延长DG至M，使GM＝GD，交AF于H，连接BM，如图所示：∵AD，BE分别为BC，AC边上的高，
∴∠BEA＝∠ADB＝90°，∵∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵∠DAC+∠C＝∠DBE+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠DBE，即∠DAE＝∠DBF，∵∠ADB＝∠FDE＝90°，∴∠ADB﹣∠ADF＝∠FDE﹣∠ADF，即∠BDF＝∠ADE，在△DAE和△DBF中，，∴△DAE≌△DBF（ASA），∴DE＝DF，∴△FDE是等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∵G为BE中点，∴BG＝EG，在△BGM和△EGD中，，∴△BGM≌△EGD（SAS），∴∠MBE＝∠DEF＝45°＝∠DFE，BM＝DE＝DF，∵∠DAC＝∠DBE，∴∠MBD＝∠MBE+∠DBE＝45°+∠DBE，∠EFD＝45°＝∠DBE+∠BDF，∴∠BDF＝45°﹣∠DBE，∵∠ADE＝∠BDF，∴∠ADF＝90°﹣∠BDF＝45°+∠DBE＝∠MBD，在△BDM和△DAF中，
，∴△BDM≌△DAF（SAS），∴DM＝AF＝2DG，∠FAD＝∠BDM，∵∠BDM+∠MDA＝90°，∴∠MDA+∠FAD＝90°，∴∠AHD＝90°，∴AF⊥DG，∴AF＝2DG，且AF⊥DG．故答案为：AF＝2DG，且AF⊥DG．三、解答题（本大题有7小题，共66分）19．计算：（1）；（2）．【分析】（1）根据算术平方根，负整数指数，立方根的定义进行计算即可；（2）根据有理数的乘方，算术平方根，绝对值，立方根进行计算即可．解：（1）原式＝5﹣2+3＝6；（2）＝﹣4+3+﹣1﹣2＝﹣4+．20．如图，点B、D、C在一条直线上，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC．（1）求证：BC＝DE；（2）若∠B＝70°，求∠EDC．【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得BC＝DE；
（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠B＝∠ADB＝70°＝∠ADE，由平角的性质可求解．解：（1）∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴BC＝DE；（2）∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠ADE＝70°，∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°，∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝40°．21．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有 4 个；（3）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）在线段AB的垂直平分线性质格点即可．（3）连接BC1交直线l于点Q，连接CQ，此时BQ+CQ的值最小．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，满足条件的点P有4个，故答案为4．（3）如图点Q即为所求．22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？【分析】（1）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；（2）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；（2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11（秒）．②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12（秒）．综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．23．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H．（1）求证：BG＝CH；（2）若AB＝12，AC＝8，求AG的长．【分析】（1）连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质可得DB＝DC；依据角平分线的性质可得DG＝DH；依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）同理Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），得出AG＝AH，进而得出答案．【解答】证明：（1）如图，连接BD、CD，∵D是线段BC垂直平分线上的点，∴BD＝DC，∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC
∴DG＝DH，∠DGB＝∠H＝90°，在Rt△BDG与Rt△CDH中，，∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL），∴BG＝CH；（2）∵Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），∴AG＝AH，∴AB﹣AC＝AG+BG﹣（AH﹣CH）＝2BG＝12﹣8＝4，∴BG＝2，∴AG＝AB﹣BG＝12﹣2＝10．24．以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）；（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是 ∠AMC＝90°+α ．【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△ABD，可得∠AEC＝∠ABD，由外角的性质可得结论；（2）由“SAS”可证△ACG≌△ADH，可得AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，即可求解；
（3）由全等三角形的性质可得S△ACG＝S△ADH，EC＝BD，由面积法可求AP＝AN，由角平分线的性质可求∠AMD，即可求解．解：（1）∵∠EAB＝∠CAD＝α，∴∠EAC＝∠BAD，在△AEC和△ABD中，，∴△AEC≌△ABD（SAS），∴∠AEC＝∠ABD，∵∠AEC+∠EAB＝∠ABD+∠EMB，∴∠EMB＝∠EAB＝40°；（2）连接AG，AH，由（1）可得：EC＝BD，∠ACE＝∠ADB，∵G、H分别是EC、BD的中点，∴DH＝CG，在△ACG和△ADH中，，∴△ACG≌△ADH（SAS），∴AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，∴∠AGH＝∠AHG，∠CAG﹣∠CAH＝∠DAH﹣∠CAH，∴∠GAH＝∠DAC，∵∠DAC＝α，∴∠GAH＝α，∵∠GAH+∠AHG+∠AGH＝180°，
∴∠AHG＝90°﹣α；（3）如图3，连接AM，过点A作AP⊥EC于P，AN⊥BD于N，∵△ACE≌△ADB，∴S△ACE＝S△ADB，EC＝BD，∵EC×AP＝×BD×AN，∴AP＝AN，又∵AP⊥EC，AN⊥BD，∴∠AME＝∠AMD＝，∴∠AMC＝∠AMD+∠DMC＝90°+α，故答案为：∠AMC＝90°+α．25．（1）如图①，△ABC是等边三角形，M为边BC的中点，连接AM，将线段AM顺时针旋转120°，得到线段AD，连接BD；点N在BC的延长线上，且CN＝MC，连接AN．求证：BD＝AN．（2）若将问题（1）中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”，其他条件不变，结论还成立吗？如果成立，请画出图形并给出证明；如果不成立，请举出反例．
【分析】（1）证明△DBA≌△ANM（SAS），可得BD＝AN．（2）分两种情形：①如图②﹣1中，当BM＞BC时，分别过点A、点D作AG⊥BM、DH⊥BA垂足分别为G、H．证明△DAH≌△AMG（AAS），推出DH＝AG，AH＝GM，再证明△DBH≌△ANG（SAS），可得BD＝AN．②当BM＜BC时，同法可得BD＝AN．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，∵又M是BC的中点，∴∠AMB＝∠AMN＝90°，BC＝2BM＝2MC，∠BAM＝∠BAC＝30°，∵AM顺时针旋转120°得到线段AB，∴∠MAD＝120°，AD＝AM，∴∠BAD＝∠MAD﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，∴∠BAD＝∠AMN＝90°，∵MC＝CN，∴MN＝2MC＝BC＝AB，在△DBA和△ANM中，，∴△DBA≌△ANM（SAS），∴BD＝AN．
（2）结论成立，理由如下：①如图②﹣1中，当BM＞BC时，分别过点A、点D作AG⊥BM、DH⊥BA垂足分别为G、H．∴∠DHA＝∠AGM＝90°，∵∠AMG+∠BAM+∠ABC＝180°，∠ABC＝60°，∴∠AMG＝180°﹣∠ABC﹣∠BAM＝120°﹣∠BAM，∵AM顺时针旋转120°得到线段AB，∴∠MAD＝120°，AD＝AM，∴∠DAB＝120°﹣∠BAM，∴∠DAB＝∠AMB，在△DAH和△AMG中，，∴△DAH≌△AMG（AAS），∴DH＝AG，AH＝GM，又∵△ABC是等边三角形，AG⊥BM，∴BG＝GC，∴GN＝GC+CN＝GC+CM＝BG+GC﹣GM＝BC﹣GM，又∵BH＝AB﹣HA，AH＝GM，AB＝BC，∴BH＝GN．∵DH＝AG，∠DHA＝∠AGM＝90°，BH＝GN，在△DBH和△ANG中，
，∴△DBH≌△ANG（SAS），∴BD＝AN．②当BM＜BC时，同法可得BD＝AN．
