2020～2021年度河南省高三质量检测(五)数学(理科)考生须知：1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟.2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效.4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.出60分在每小颍给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.已知复数,若在复平面内所对应的点位于第二象限,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3.若向区域内随机投点,则该点落在区域内的概率为（）
A．B．C．D．4.若满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C.D．5.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素,加上它们的多种变体,一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一。如图,该几何体是一个棱长为的正八面体,则此正八面体的体积与表面积之比为（）A．B．C.D．6.已知，且，则（）A．B．C.D．7.展开式中的系数为（）A．B．C.D．8.若函数在上有极值点,则的取值范围为（）A．B．C.D．9.已知分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上的不同两点且关于
轴对称，设直线的斜率分别为，若.则该椭圆的离心率为（）A．B．C.D．10.已知函数的部分图象如图所示,则（）A．B．C.D．11.已知二次函数满足，且，对任意，成立，则的取值范围为（）A．B．C.D．12.已知双曲线的左,右焦点分别为,点是双曲线上的一点,若,且外接圆与内切圆的半径之比为,则双曲线的离心率为（）A．B．C.D．
第II卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知平面向量，且，则．14.定义在上的奇函数在上是减函数,若,则的取值范围为．15.如图,在四棱锥中,平面,若与平面所成角的正切值为,则四棱锥外接球的表面积为．16.已知等边三角形的边长为,边上有两点满足,则的最小值是．三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,17～2l题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.17.已知数列的首项为，且满足求的通项公式已知，求数列的前项和18.如图,已知四边形为菱形,对角线与相交于,点不在平面内,平面平面平面.
证明:.求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.已知动点到点的距离比它到直线的距离小.求动点的轨迹的方程.过点作斜率为的直线与轨迹交于点,线段的垂直平分线交轴于点,证明:为定值.20.已知函数若在定义域内单调递增,求的取值范围;若存在,使得成立,求的取值范围.21.某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人们群众脱贫奔小康，经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加,为了制定提升农民收入,实现年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了年位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:
根据频率分布直方图,估计这位农民的平均年收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示).为推进精准扶贫,某企业开设电商平台进行扶贫,让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富.甲计划在店,乙计划在店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动,其中每个订单由个商品构成,假定甲,乙两人在两店订单“秒杀"成功的概率分别为,记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、商品总数量分别为①求的分布列及数学期望②若，求当的数学期望取最大值时正整数的值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）,曲线为，以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求直线和曲线的极坐标方程;若射线与曲线相切于点(点位于第一象限),且与直线相交于点,求23.[选修4-5:不等式选讲]已知正实数满足.证明:.证明:2020～2021年度河南省高三质量检测(五)
数学参考答案(理科)1.，2.则得3.区域的面积为,在区域中,满足的面积为则所求概率4.作出不等式组表示的可行域(图略),当直线过点时,取得最大值5.正八面体的上、下结构是两个相同的正四棱锥,由勾股定理求得斜高,再由棱锥的体积公式即可求解.由边长为,可得正八面体上半部分的斜高为,高为,则其体积为，其表面积为,所以此正八面体的体积与表面积之比为6.由，得，解得又因为所以则
7.展开式的通项公式为令，得，所以展开式中的系数为。8.所以在上为减函数所以解得9.设，则又因为所以10.由函数图象可知即将代入得又
是以为最小正周期的周期函数则11.设二次函数则又解得
函数在上单调递增令当时，满足题意当时解得综上，的取值范围为12.设的外接圆与内切圆的半径分别为,则因为所以则如图，圆是的内切圆，且与的三边分别切于三点设点，则所以解得即，
因为直线是的角平分线，且所以可得因为所以整理得故13.由，可得向量反向，所以解得14.由题可知函数在上单调递减,且,可化为,则,解得
即的取值范围为15.连接,则为与平面所成角,即,所以因为,所以四边形为等腰梯形,且可求得,所以底面外接圆的半径为,且四边形外接圆的圆心为的中点,四棱锥外接球的半径,故该四棱锥外接球的表面积16.设记为则在中,有,即.在△中,点到的距离故,即
由余弦定理可得当且仅当时，取等号，即可得17.解：由得又所以当时，又也满足上式所以所以18.证明:因为四边形为菱形,所以
因为平面平面，所以平面因为平面平面平面，所以解:因为四边形为菱形,所以因为平面,所以以为坐标原点,所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,取的中点,连接,则所以.因为,所以为正三角形，因为所以所以从而
设平面一个法向量为所以所以所以令所以设平面一个法向量为所以所以所以
令所以所以因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为19.解:由题意知,动点到点的距离与到直线距离相等，由抛物线的定义知,轨迹是以为焦点,以直线为准线的抛物线.所以点的轨迹的方程为证明:设直线联立得设为线段的中点，则,所以，所以线段的垂直平分线的方程为,则从而
所以为定值.20.解：在上恒成立则的取值范围为令当即时，在上单调递增当即时，在上单调递减当时存在，使得在上单调递减，在上单调递增
或解得综上所述,的取值范围是21.解：千元故估计这位农民的年平均收入为千元.①由题知,的可能取值为所以的分布列为②因为所以令
设则且当时，所以在区间上单调递增当时，所以在区间上单调递减所以，即时故当取最大值时,的值为22.解:消去可得将代入普通方程，可得直线的极坐标方程为曲线的极坐标方程为
在极坐标系中,联立'可得因为射线与曲线相切,所以,即,又点位于第一象限,即所以联立解得,即所以23.证明：因为所以所以当且仅当时取等号所以
当且仅当时取等号即
