2020～2021学年大联考高三12月质量检测数学本卷命题范围：高考范围．一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{-2，-1，0，1，2，3}，B＝{x|x2-2x-1＞0}，则A∩B＝A．{-2，2，3}B．{-2，-1，2，3}C．{-2，-1，3}D．{-2，3}2．已知复数z＝（1＋2i）（2-i）（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点为A．（3，4）B．（3，-4）C．（4，3）D．（4，-3）3．为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数x与每平米平均建筑成本y（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用y和楼层数x的回归方程类型的是A．y＝a＋bxB．y＝a＋bexC．D．y＝a＋bx24．在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为A．20B．160C．180D．2405．已知菱形ABCD的边长为2，且，则的值为A．2B．4C．6D．86．毛泽东在《七律二首·送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天遥看一千河．”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程．诗中所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据．设某地所在纬度为北纬θ
（0°＜θ＜90°）（即地球球心O和该地的连线与赤道平面所成的角为θ），且．若将地球近似看作球体，则某人在该地每昼夜随着地球自转而经过的路程约为A．6万里B．万里C．万里D．7万里7．已知圆O：x2＋y2＝r2（0＜r＜4），过点P（4，0）作圆O的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB＝2∠AOB，则AB的长为A．2B．3C．D．8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，Sx＝y2，Sy＝x2（其中x∈N*，y∈N*，x≠y），则Sx＋y＝A．x＋yB．x-yC．-（x-y）2D．-（x＋y）2二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知函数f（x）＝2sinxcosx＋2cos2x-1，则下列说法正确的是A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的增区间为（k∈Z）C．点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心D．将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数f（x）的图象10．已知a＞0，b＞0，且ab＝4，则A．B．C．D．11．如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C的准线与x轴交于点D，过点F的直线l（直线l的倾斜角为锐角）与抛物线C相交于A，B两点（A在x轴的上方，B在x轴的下方），过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为M，直线l与抛物线C的准线相交于点N，则
A．若抛物线C的焦点F的坐标为（，0），则p＝5B．若|NF|＝|FM|，则直线l的斜率为2C．当p＝2时，若△MNA为等腰三角形，则△MNA的面积为D．当|NB|＝|AF|时，12．已知函数f（x）＝ax3＋（1-a）x，则A．函数f（x）为奇函数B．当时，或1C．若函数f（x）有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为[0，1）D．若函数f（x）在区间[-1，1]上的值域为[-1，1]，则实数a的取值范围为[，4]三、填空题：13．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，右焦点为F，y轴上一点M（0，b），若|AM|-|AF|＝2b，则该双曲线的离心率为________．14．已知α为锐角，且，则tanα＝________．15．已知函数f（x）＝x（ex-e-x）-2x2，若f（a-1）＋f（a）≤f（3a-2）＋f（-a），则实数a的取值范围为________．16．如图，在三棱锥P-ABC中，，PC＝1，PB＝2，PA＝4，若该三棱锥的外接球表面积为24π，则锐二面角A-PB-C的平面角的正切值为________．四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求△ABC的面积；
若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，c＝b＋1，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝1，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1，A1B的中点．（1）证明：DE∥平面ABC；（2）求直线BD与平面CDE所成的角的大小．19．已知数列{an}中，，．（1）记，证明：数列{bn}为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）记cn＝2nanan＋1，求数列{cn}的前n项和Sn．20．已知有五个大小相同的小球，其中3个红色，2个黑色．现在对五个小球随机编为1，2，3，4，5号，红色小球的编号之和为A，黑色小球的编号之和为B，记随机变量X＝|A-B|．（1）求X＝3时的概率；（2）求随机变量X的概率分布列及数学期望．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），焦距为．过点M（-4，0）的直线l（直线l的斜率不为零）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别交y轴于点E，F．
（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：|OE|·|OF|为定值．22．已知函数，．（其中e是自然对数的底数）（1）若f（x）单调递增，求a的取值范围；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），曲线y＝g（x）在（x1，g（x1）），（x2，g（x2））处的切线l1，l2交于点A，若点A在第一象限，求a的取值范围．
参考答案、提示及评分细则1．C将集合A中元素代入集合B，可知A∩B＝{-2，-1，3}．2．D复数z＝（1＋2i）（2-i）＝4＋3i，所以，在复平面内对应的点为（4，-3）．3．C由图象特征可知，选项C最为适宜．4．B二项式系数最大为，则该项的系数为．5．D由题目条件可知，，且向量与向量的夹角为，则．6．A由题意可知，赤道周长为8万里，则地球半径万里．设某地随着地球自转，所形成圆的半径为r0，则万里，则该圆的周长l＝2πr0＝6万里．7．D因为，若∠APB＝2∠AOB，则，即，因为OP＝4，所以，．8．D设等差数列{an}的公差为d，有，两式作差有，有，
．9．AD由．对于选项A，函数f（x）的最小正周期为π，故A选项正确；令（k∈Z），可得（k∈Z），函数f（x）的增区间为（k∈Z），故B选项错误；对于C选项，由，可知点不是函数f（x）图象的一个对称中心，故C选项错误；对于选项D，由，故D选项正确．10．BC对于选项A，（当且仅当a＝b＝2时取等号），故选项A错误；对于选项B，（当且仅当a＝b＝2时取等号），故选项B正确；对于选项C，，有log2，故选项C正确；对于选项D，，故D选项错误．11．ACD对于选项A，可得，有p＝5，故A选项正确；对于选项B，由|MF|＝|NF|，DF⊥MN，可得MD＝DN，又由DF∥MA，有DF为△MNA的中位线，有|MA|＝2p，可得点A的横坐标为，代入抛物线C的方程，求得点A的纵坐标为，故直线l的斜率为，故B选项错误；对于选项C，当△MNA为等腰三角形时，∠MAF＝45°，直线AB的斜率为1，焦点F的坐标为（1，0），直线l的方程为y＝x-1，联立方程，解得点A的横坐标为，有，则△MNA的面积为
，故C选项正确；对于选项D，如图，过点B作直线MN的垂线，垂足为E，记|AF|＝m，|BF|＝n（m＞n），当|NB|＝|AF|时，有|BN|＝m，由抛物线的性质有|BE|＝n，|AM|＝m，在△AMN中，，有，可得m2-2mn-n2＝0，得，有，故选项D正确．12．ABD对于选项A，由f（-x）＝-f（x），可知函数f（x）为奇函数，故A选项正确；对于选项B，由，解得或a＝1，故B选项正确；对于选项C，由f（x）＝0，有x[ax2＋（1-a）]＝0，当a＝0时，函数f（x）仅有一个零点0，当a≠0时，必有，有0＜a≤1，可得0≤a≤1，故C选项错误；对于选项D，由f（1）＝1，f（-1）＝-1，f（0）＝0，f（-x）＝-f（x），可知满足题意只需当0＜x＜1时，-1≤f（x）≤1，有，有，有，由0＜x＜1，有，有，可知当0＜x＜1时，和恒成立，，0＜x2＋x＜2，有．故D选项正确．13．易知|AM|＝c，|AF|＝c-a，所以|AM|-|AF|＝a＝2b，所以a2＝4b2＝4（c2-a2），解得．14．因为，，所以，所以，即，因为α为锐角，所以，即．
15．由f（-x）＝-x（e-x-ex）-2x2＝x（ex-e-x）-2x2＝f（x），可知函数f（x）为偶函数，函数图象关于y轴对称，又由f（x）＝x（ex-e-x-2x），令g（x）＝ex-e-x-2x，由g（-x）＝-g（x）可知函数g（x）为奇函数，又由g（0）＝0，（当且仅当x＝0时取“＝”），可得函数g（x）单调递增，且当x＞0时g（x）＞0，由一次函数y＝x在区间（0，＋∞）单调递增且函数值恒为正，可知函数f（x）在区间[0，＋∞）单调递增，又由函数f（x）为偶函数，可得函数f（x）的增区间为[0，＋∞），减区间为（-∞，0）．不等式f（a-1）＋f（a）≤f（3a-2）＋f（-a）可化为f（a-1）≤f（3a-2），必有|a-1|≤|3a-2|，平方后整理为8a2-10a＋3≥0，解得或．16．因为S＝24π＝4πr2，所以，由题中数据可知，BA⊥BP，CB⊥CP，所以△ABP，△BCP的外接圆圆心O1，O2分别位于斜边PA，PB的中点，设球心为O，则OO1⊥平面PAB，OO2⊥平面PBC，因为，，所以，因为，所以，设锐二面角A-PB-C的平面角为θ，因为OO2⊥平面PBC，所以θ与∠OO2O1互余，即θ＝∠O1OO2．17．解：由，有又由sinB＞0，有再由A∈（0，π），可得由余弦定理有选择条件①，有，而b＋1＞1，，可得，故方程无解，满足条件的△ABC不存在；选择条件②，由正弦定理有，有，解得b＝1
故这样的△ABC存在，△ABC的面积为；选择条件③，有，可得，有，解得b＝2故这样的△ABC存在，△ABC的面积为．18．解：（1）证明：如图，取AB的中点F，连EF，CF∵A1E＝EB，AF＝FB，∴∵，AA1＝CC1，∴∴四边形DEFC为平行四边形，∴DE∥CF∵DE平面ABC，CF平面ABC，CF∥DE∴DE∥平面ABC（2）以C为原点，分别以CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，即C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），因为E是A1B的中点，所以，D（0，0，1）设平面CDF的法向量为由，，有，取x＝1，y＝-1，z＝0，有由，，
有故直线BD与平面CDF所成角的大小为30°．19．解：（1）证明：由故数列{bn}是公比为2的等比数列（2）由及（1）有bn＝2n可得，可得（3）由．20．解：（1）因为1＋2＋3＋4＋5＝15，所以当X＝3时，A＝6或A＝9所以A＝1＋2＋3或A＝2＋3＋1或A＝1＋3＋5，所以；（2）因为1＋2＋3＋4＋5＝15为奇数，所以A，B必然一奇一偶，所以X为奇数，所以Xmin＝|（1＋3＋4）-（2＋5）|＝1，Xmax＝|（3＋4＋5）-（1＋2）|＝9，即X所有可能的取值为X＝1，3，5，7，9，当X＝1时，A＝1＋3＋4或A＝1＋2＋5或A＝1＋2＋4，所以；由（1）知，；当X＝5时，A＝1＋4＋5或A＝2＋3＋5，所以；当X＝7时，A＝2＋4＋5，所以；
当X＝9时，A＝3＋4＋5，所以；所以随机变量X的概率分布列如下表：P13579X随机变量X的数学期望．21．解：（1）由题意可知，a＝2，焦距，即，所以b2＝a2-c2＝1，所以椭圆C的标准方程为；（2）证法一：点A的坐标为（2，0）设直线l的方程为y＝k（x＋4）（k≠0），点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）联立方程消去y后整理为（4k2＋1）x2＋32k2x＋64k2-4＝0有，由Δ＝（32k2）2-4（4k2＋1）（64k2-4）＝16（1-12k2）＞0，可得且k≠0直线AP的方程为：，令x＝0，可得点E的纵坐标为同理可得点F的纵坐标为有
故|OE|·|OF|为定值．证法二：设直线l的方程为y＝kx＋m（k≠0），将直线l：y＝kx＋m的方程与椭圆C的方程联立，，消去y，整理得（4k2＋1）x2＋8kmx＋4m2-4＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，直线AP：，令x＝0，解得，同理可知，，所以，整理得，将，代入，可得，因为直线过点M（-4，0），所以-4k＋m＝0，即m＝4k，所以．22．解：（1）由题意可知，恒成立，所以，即a≤2，当且仅当x＝1时，上述等号成立，所以a的取值范围为（-∞，2]；（2），由题意可知f′（x1）＝f′（x2）＝0，所以Δ＝a2-4＞0，且，解得a＞2，且x1x2＝1，所以0＜x1＜1，x2＞1，，则，曲线y＝g（x）在（x1，g（x1））处的切线为，
同理，在（x2，g（x2））处的切线为，令，解得，所以，由题意可知，，整理得，设（x∈（0，1）），则，设H（x）＝h′（x），则，所以H（x）＝h′（x）在（0，1）上单调递减，因为，，所以存在，使得h′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，h′（x）＞0，当x∈（x0，＋∞）时，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，因为，所以h（x）＜0的解集为，即，因为，所以．
