2020-2021学年江苏省无锡市某校高二（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卡指定位置处.)1.命题“∀x∈N，n2>2n”的否定是________．2.过点P(-1, 3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为________．3.是直线l1:x+2ay-1＝0和直线l2：(a+1)x-ay＝0平行的________条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）4.若圆C的半径为1，点C与点(2, 0)关于点(1, 0)对称，则圆C的标准方程为________．5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角的大小是________．6.直线xsinα+y+2＝0的倾斜角的取值范围是________．7.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若V1V2=3π，则S1S2的值为________．8.已知直线ax+y+1=0被圆x2+y2-2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值为________．9.在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆过点，离心率为，则椭圆C的方程为________．10.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β．给出下列命题：①α // β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l // m；③m // α⇒l⊥β； ④l⊥β⇒m // α．其中正确的命题是________． （填写所有正确命题的序号）．11.已知实数x，y满足方程，则的取值范围是________．12.已知圆C1：(x-a)2+(y+2)2＝4与圆C2：(x+b)2+(y+2)2＝1相外切，则ab的最大值为________．13.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0，关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a, b)向圆所作的切线长的最小值为________．14.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1(a>b>0)与不过坐标原点O的直线试卷第7页，总7页
l:y＝kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为-，则椭圆C的离心率为________．二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.（1）求过点A(1, 3)，斜率是直线y＝-4x的斜率的的直线方程；15.（2）求经过点A(-5, 2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．16.如图，过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF // AB，使AB＝2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG＝GC．求证：（1）FG // 平面AED；（2）平面DAF⊥平面BAF．17.在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆的焦点在x轴上；命题q：直线l:x-y+m＝0与圆O:x2+y2＝9有公共点．若命题p∧q为假命题，且命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围．18.如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC点，F在棱AC上，且AF=3FC．1求三棱锥D-ABC的体积；2求证：AC⊥平面DEF；3若M为DB中点，N在棱AC上，且CN=38CA，求证：MN // 平面DEF．试卷第7页，总7页
19.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60＝0及其上一点A(2, 4)．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；（3）设点T(t, 0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA→+TP→=TQ→，求实数t的取值范围．20.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点为A(-4, 0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求AD+AEOM的最小值．试卷第7页，总7页
参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省无锡市某校高二（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卡指定位置处.1.∃x∈N，n2≤2n2.2x+y-1=03.充分不必要4.x2+y2＝15.45∘6.[0，]∪[，π)7.32π8.-29.10.①④11.12.13.414.二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.斜率是直线y＝-4x的斜率的的直线斜率k＝-4×．利用点斜式可得：y-8＝-(x-7)．直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：y＝-x．直线不经过原点时，设直线方程为：，把点A(-5+＝1．化为：x+2y+2＝0．16.∵DG＝GC，AB＝CD＝2EF，∴EF // DG．∴四边形DEFG为平行四边形，∴FG // ED．又∵FG // 试卷第7页，总7页
平面AED，ED⊂平面AED，∴FG // 平面AED．∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，又∵AD⊂平面DAF，∴平面DAF⊥平面BAF..17.若命题p为真：由题可知，0<8-m<m若命题q为真：x-y+m＝3与圆O:x2+y2＝7有公共点则圆心O到直线l的距离：，解得∵命题p∧q为假命题，且命题p∨q为真命题，∴若p真q假，则，解得若q真p假，则，解得综上：实数m的取值范围是18.1解：∵△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，∴三棱锥D-ABC的体积V=13×34a2×a=312a3．证明：2取AC的中点H，连结BH.如图∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF // BH.则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴试卷第7页，总7页
DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．3连结CM，设CM∩DE=O，连结OF．由条件知，O为△BCD的重心，则CO=23CM．当CN=38CA时，CF=23CN，∴MN // OF．∵MN⊄平面DEF，OF⊂平面DEF，∴MN // 平面DEF．19.∵N在直线x＝6上，∴设N(6, n)，∵圆N与x轴相切，∴圆N为：(x-6)2+(y-n)2＝n2，n>0，又圆N与圆M外切，圆M:x2+y2-12x-14y+60＝0，即圆M：((x-6)2+(x-7)2＝25，∴|7-n|＝|n|+5，解得n＝1，∴圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2＝1．由题意得OA＝25，kOA＝2，设l:y＝2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=|5+b|5，则|BC|＝225-(5+b)25，BC＝25，即225-(5+b)25=25，解得b＝5或b＝-15，∴直线l的方程为：y＝2x+5或y＝2x-15．TA→+TP→=TQ→，即TA→=TQ→-TP→=PQ→，又|PQ→|≤10，即(t-2)2+42≤10，解得t∈[2-221, 2+221]，对于任意t∈[2-221, 2+221]，欲使TA→=TQ→-TP→=PQ→，此时，|TA→|≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为25-|TA|24，必然与圆交于P、Q两点，此时|TA→|＝|PQ→|，即TA→=PQ→，因此实数t试卷第7页，总7页
的取值范围为t∈[2-221, 2+221]．20.∵椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点为A(-4, 0)，∴a＝4，又e=12，∴c＝2．又∵b2＝a2-c2＝12，∴椭圆C的标准方程为x216+y212=1．直线l的方程为y＝k(x+4)，由x216+y212=1y=k(x+4) 消元得，x216+[k(x+4)]212=1．化简得，(x+4)[(4k2+3)x+16k2-12)]＝0，∴x1＝-4，x2=-16k2+124k2+3．当x=-16k2+124k2+3时，y=k(-16k2+124k2+3+4)=24k4k2+3，∴D(-16k2+124k2+3,24k4k2+3)．∵点P为AD的中点，∴P的坐标为(-16k24k2+3,12k4k2+3)，则kOP=-34k(k≠0)．直线l的方程为y＝k(x+4)，令x＝0，得E点坐标为(0, 4k)，假设存在定点Q(m, n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，则kOPkEQ＝-1，即-34k⋅n-4km=-1恒成立，∴(4m+12)k-3n＝0恒成立，∴4m+12=0-3n=0 ，即m=-3n=0 ，∴定点Q的坐标为(-3, 0)．∵OM // l，∴OM的方程可设为y＝kx，由x216+y212=1y=kx ，得M点的横坐标为x=±434k2+3，由OM // l，得AD+AEOM=|xD-xA|+|xE-xA||xM|=xD-2xA|xM|=-16k2+124k2+3+8434k2+3=13⋅4k2+94k2+3⋯=13(4k2+3+64k2+3)≥22，当且仅当4k2+3=64k2+3即k=±32时取等号，∴当k=±32时，AD+AEOM的最小值为22．试卷第7页，总7页
