2020-2021学年江苏省某校高二（上）期中数学试卷一、单选题（每小题5分，共8题）)1.命题“，”的否定是（）A.，䁕B.，䁕C.，䁕D.，䁕2.抛物线的准线方程为（）A.＝B.C.D.3.已知等比数列满足，，则A.B.C.D.4.在长方体ܤܥܤܥ中，ܤܥ，则直线ܥܥ与平面ܤ所成角的余弦值为（）A.B.C.D.5.设为等差数列的前项和，若＝，则＝（）A.B.C.D.6.在正三棱柱ܤܤ中，侧棱长为，底面三角形的边长为，ܥ为的中点，则ܤ与ܥ所成角的大小为（）A.B.C.D.7.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，ܤ两点，线段ܤ的中点在直线上，为坐标原点，则ܤ的面积为（）A.B.C.D.8.已知＝是上的奇函数，＝，，则数列的通项公式为（）A.B.C.D.二、多选题（每小题5分，漏选得3分，错选不得分，共4题）)9.已知命题，䁕，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（）A.B.C.D.试卷第1页，总8页
10.在平面直角坐标系中，已知双曲线，则()A.实轴长为B.渐近线方程为C.离心率为D.一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为11.设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（）A.当时，取最大值B.当时，C.当䁕时，䁕D.当䁕时，䁕12.正方体ܤܥܤܥ中，是棱ܥܥ的中点，在侧面ܥܥ上运动，且满足ܤ平面ܤ．以下命题正确的有（）A.侧面ܥܥ上存在点，使得ܤܥB.直线ܤ与直线ܤ所成角可能为C.平面ܤ与平面ܥܥ所成锐二面角的正切值为D.设正方体棱长为，则过点，，的平面截正方体所得的截面面积最大为三、填空题（每小题5分，其中15题第一空2分，第二空3分）)13.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是________．14.四棱锥ܤܥ中，底面ܤܥ是边长为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角ܤ的平面角为________．15.无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”．若为“和谐递进数列”，且，，，，则________；________．16.已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且䁕，试卷第2页，总8页
线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为________．四、解答题（17题10分，其余每题12分）)17.设命题：实数满足䁕，其中䁕；命题：实数满足．（1）若，，都是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18.（1）求与双曲线＝有相同焦点，且经过点，的双曲线的标准方程；18.（2）已知椭圆䁕的离心率＝，求的值．，为奇数19.在①，②，③这三个条件中log，为偶数loglog任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．问题：已知数列是等比数列，且，其中，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）记_____，求数列的前项和．20.如图，在四棱锥ܤܥ中，底面ܤܥ是矩形．已知ܤܥܤ，ܥ．（1）求点ܤ到面ܥ的距离；（2）求二面角ܤܥ的正切值．21.已知数列满足＝，且＝．（1）证明：数列为等比数列；（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围．22.已知点是椭圆：＝䁕䁕的右焦点，过点的直线交椭圆于，两点．当直线过的下顶点时，的斜率为，当直线垂直于的长轴时，的面积为．试卷第3页，总8页
Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ当时，求直线的方程；Ⅲ若直线上存在点满足，，成等比数列，且点在椭圆外，证明：点在定直线上．试卷第4页，总8页
参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省某校高二（上）期中数学试卷一、单选题（每小题5分，共8题）1.C2.B3.A4.C5.C6.A7.B8.C二、多选题（每小题5分，漏选得3分，错选不得分，共4题）9.A,D10.B,C11.B,C12.A,C三、填空题（每小题5分，其中15题第一空2分，第二空3分）13.14.15.,16.四、解答题（17题10分，其余每题12分）17.当时，䁕解得䁕䁕，解得，即，所以当，都是真命题时，解得䁕䁕，故实数的取值范围为；命题䁕䁕，因为是的充分不必要条件，所以⫋，，解得，故实数的取值范围为．18.∵所求双曲线与双曲线＝有相同焦点，∴设所求双曲线方程为：＝，䁕䁕，∵双曲线过点，，∴＝，∴或．（舍）∴所求双曲线方程为＝．椭圆方程可化为，试卷第5页，总8页
因为＝䁕，所以䁕，即，，＝，由＝，得＝，解得，所以．19.设数列的公比为，∵，，成等差数列，∴，又∵，∴，即，∴或（舍），∴；由（1）知，若选择条件①，则，∴ǤǤǤ，又ǤǤǤ，两式相减得：ǤǤǤ，整理得：．，为奇数若选择条件②，则，，为偶数∴ǤǤǤǤǤǤǤǤǤǤǤǤ．若选择条件③，则，∴ǤǤǤ．20.∵ܤܤ，ܥ，ܥ＝，故ܥܥ，则ܥ，∵ܥܤ，ܤ，∴ܥ平面ܤ，∴ܤ＝＝，ܥ＝＝，设点ܤ到平面ܥ的高为，由ܤܥܥܤ，得ܥ＝ܤܥ，即＝，试卷第6页，总8页
∴＝．如图所示，取ܤ中点，连接，作垂直于ܤܥ，连接，在ܤ中，ܤܤ，∴ܤ，由（1）知ܥ平面ܤ，平面ܤ，∴ܥ，而ܤܥ，ܤ，ܥ平面ܤܥ，∴平面ܤܥ，ܤܥ平面ܤܥ，∴ܤܥ，又∵ܤܥ，∴ܤܥ，又，∴ܤܥ平面，∴为二面角ܤܥ的平面角，＝＝，＝＝＝，在中，，∴tan＝＝＝，即二面角ܤܥ的正切值为．21.证明：因为数列满足＝，所以＝，整理得＝，即（常数）．所以数列是以为首项，为公比的等比数列．由（1）知，即．所以．当为偶数时，．当为奇数时，．试卷第7页，总8页
当为偶数时，是递减的，此时当＝时，取最大值，则；当为奇数时，是递增的，此时䁕，则．综上，的取值范围是．22.（1）由题设：，＝，解得，，所以椭圆的方程为＝．（2）当直线与轴重合时，，不合题意．当直线与轴不重合时，设直线的方程为，，，＝联立，消去整理得，＝有①，②，由，得③，联立①②③得，解得．所以直线的方程为．Ⅲ设当直线与轴重合时，因为点在椭圆外，所以，同号，由，得，解得，当直线与轴不重合时，由Ⅱ知，，因为，，，因为点在椭圆外，所以，同号，由，得，解得，整理得，即＝，解得，代入直线方程，得，所以点在定直线上．试卷第8页，总8页
