2020-2021学年江苏省无锡市某校高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的选项中，只有1项符合题意）)1.命题：“∃x∈Z，x-1∈N”的否定为（）A.∀x∉Z，x-1∈NB.∀x∉Z，x-1∉NC.∀x∈Z，x-1∉ND.∃x∈Z，x-1∉N2.已知双曲线-y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝（）A.B.C.D.3.在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q为（）A.±2B.2C.±3D.34.已知双曲线右支上一点P到右焦点的距离为4，则该点到左准线的距离为（）A.2B.3C.4D.55.若直线l过抛物线y2＝8x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝16，则线段AB的中点P到y轴的距离为（）A.6B.8C.10D.126.为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离．若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（）A.34000米B.36000米C.38000米D.40000米7.数列{an}是等比数列，公比为q，且a1>0．则“q<-1”是“∀n∈N*，2a2n-1+a2n<a2n+1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.已知椭圆的右焦点为F．点A，B为椭圆上不同的两点，且满足AF⊥BF．过线段AB的中点P作椭圆C右准线的垂线，垂足为Q．则的最小值为（）试卷第9页，总10页
A.B.C.D.1二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）)9.已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为（）A.B.C.D.an＝1-cos(n-1)π+(n-1)(n-2)10.已知命题p：不存在过点(1, 1)的直线与椭圆相切．则命题p是真命题的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.m＝-311.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列{an}说法正确的是（）A.a10＝55B.a2020是偶数C.3a2020＝a2018+a2022D.a1+a2+a3+...+a2020＝a202212.已知抛物线C:y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴交于点M．点P，Q是抛物线上不同的两点．下面说法中正确的是（）A.若直线PQ过焦点F，则以线段PQ为直径的圆与准线l相切B.过点M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多两条C.对于抛物线内的一点T(1, 1)，则|PT|+|PF|≥3D.若直线PQ垂直于x轴，则直线PM与直线QF的交点在抛物线C上三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分.只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）)13.已知递增等差数列{an}满足：a2+a4=12，a1a5=20，则a4=________．14.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则实数p的值为________．试卷第9页，总10页
15.设椭圆的右焦点为F，O为坐标原点．过点F的直线2x+y-4＝0与椭圆的交点为Q（点Q在x轴上方），且|OF|＝|OQ|，则椭圆C的离心率为________．16.数列{an}满足：a1＝，其中Sn为数列{an}的前n项和，则an＝________，若不等式(t-2)an≥2n2-5n-12对∀n∈N*恒成立，则实数t的最小值为________．四、解答题（本题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）)17.已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆；命题q:∀x∈R，x2+kx+2k+5≥0恒成立；命题r:1-m<k<1+m(m>0)．（1）若命题p与命题r互为充要条件，求实数m的值；（2）若命题q是命题r的必要不充分条件，求正数m的取值范围．18.已知双曲线C的标准方程为，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点．（1）若点P在双曲线的右支上，且ΔF1PF2的面积为3，求点P的坐标；（2）若斜率为1且经过右焦点F2的直线l与双曲线交于M，N两点，求线段MN的长度．19.在①a1，a2+1，a3成等差数列；②S4＝30；③a1a2a3＝64三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并作答．已知Sn是数列{an}的前n项和．若Sn＝2an-a1(n∈N*)，a1≠0，且满足____．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设b1＝1，bn+1-bn＝an(n∈N*)，求数列{bn}的通项公式．20.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，|AB|＝4．过右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆C于D，E两点，且|DE|＝1．（1）求椭圆C的方程；（2）斜率大于0的直线l经过点P(-4, 0)，且交椭圆C于不同的两点M，N（M在点P，N试卷第9页，总10页
之间）．记△PNA与△PMB的面积之比为λ，求实数λ的取值范围．21.已知数列{an}中，a1＝1，(n+1)an+1-(n+2)an＝1(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和．数列{bn}满足．（1）证明：数列{an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn.问是否存在正整数p，q(3<p<q)，使得T3，Tp，Tq成等差数列？若存在，求出p，q的值；若不存在，请说明理由．22.已知抛物线C:y2＝2px(p>0)经过点．（1）求抛物线C的方程及其相应准线方程；（2）过点E(2, 0)作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线于M，N和P，Q四点，其中k1+k2＝1．设线段MN和PQ的中点分别为A，B，过点E作ED⊥AB，垂足为D．证明：存在定点T，使得线段TD长度为定值．试卷第9页，总10页
参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省无锡市某校高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的选项中，只有1项符合题意）1.C2.D3.D4.C5.A6.B7.A8.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）9.A,C10.B,D11.A,C12.A,C,D三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分.只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）13.814.15.16.,四、解答题（本题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.若命题p与命题r互为充要条件，则(-2, 3)＝(1-m，解得：m＝6；若命题q是命题r的必要不充分条件，则(1-m, 1+m)⫋[-7，则，解得：m≤3，故m的范围是(0, 7]．18.双曲线C的标准方程为，可得a＝，c＝，设P(m, n)(m>0)1PF2的面积为S＝•7c|n|＝3，即|n|＝＝4，m＝＝，试卷第9页，总10页
即有P（，-1)或P（；斜率为7且经过右焦点F2(3, 8)的直线l的方程为y＝x-3，与双曲线的方程2x6-y2＝6联立，可得x4+6x-15＝0，设M，N的横坐标分别为x3，x2，解得x1＝-2+2，x8＝-3-2，则|MN|＝|x1-x2|＝＝2．19.由于a1，a2+4，a3成等差数列；所以2(a4+1)＝a1+a2，由于Sn＝2an-a1，①，当n≥8时，Sn-1＝2an-3-a1②，①-②得：an＝Sn-Sn-1＝6an-2an-1，整理得an＝5an-1，即（常数），所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列．所以2(2a1+2)＝a1+4a3，解得a1＝2．所以，b1＝1，bn+5-bn＝an＝2n，所以，…，，所以，故＝．选②时：（1）由于Sn＝2an-a3，①，当n≥2时，Sn-1＝3an-1-a1②，①-②得：an＝Sn-Sn-4＝2an-2an-4，整理得an＝2an-1，即（常数），所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列．且S4＝30；整理得a1+3a1+4a6+8a1＝30，解得a8＝2，所以，（2）b4＝1，bn+1-bn＝an＝6n，所以，…，，所以，故＝．选③时：（3）由于Sn＝2an-a1，①，试卷第9页，总10页
当n≥2时，Sn-1＝2an-7-a1②，①-②得：an＝Sn-Sn-1＝6an-2an-1，整理得an＝7an-1，即（常数），所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列．且a5a2a3＝64，整理得2＝6，故a1＝2．所以，（4）b1＝1，bn+7-bn＝an＝2n，所以，…，，所以，故＝．20.由题意可得2a＝4，即a＝6，令x＝c，可得y＝±b，则＝1，则椭圆的方程为+y2＝1；设直线l的方程为x＝my-4(m>0)，与椭圆方程+y2＝1联立，可得(7+m2)y2-2my+12＝0，由△＝64m2-48(5+m2)>0，可得m8>12，设N，M的纵坐标分别为y1，y2，且y7>y2，且y1>7，y2>0，y5+y2＝，y1y2＝，+＝＝-6＝-8，由m2>12，可得>+，试卷第9页，总10页
由△PNA与△PMB的面积之比为λ，可得＝，即为＝3λ，又3λ+>26>0，可得λ≠，由3λ+<，解得λ<0或，则实数λ的取值范围为（，1)．21.证明：由(n+1)an+1-(n+5)an＝1(n∈N*)可得：-＝＝-，∴-＝-，-＝-，-＝-，…，-＝-(n≥2)，将以上式子相加可得：-＝试卷第9页，总10页
-，∵a1＝1，∴an＝n(n≥3)，又a1＝1也适合上式，∴an＝n，∵an+3-an＝n+1-n＝1，∴数列{an}是首项、公差均为4的等差数列，an＝n；由（1）可得bn＝＝＝＝2（-），∴Tn＝2（-+-+…+-）＝，假设存在正整数p，q(8<p<q)3，Tp，Tq成等差数列，则2Tp＝T4+Tq，即＝+⇒q＝，又3<p<q，可解得：或，故存在或，使得T8，Tp，Tq成等差数列．22.抛物线C:y2＝2px(p>4)经过点，可得8＝4p，即p＝2，抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝-5；证明：设k1k2＝t，MN:y＝k7(x-2)，PQ:y＝k2(x-8)，由可得k12x2-(4+3k12)x+5k12＝8，可得xA＝＝＝2+，yA＝k4(xA-2)＝，即A(2+，），同理可得B(2+，），kAB＝＝k1k6(k1+k2)＝k2k2＝t，则直线AB的方程为y＝t(x-2-）+1k8x-2k1k8-试卷第9页，总10页
+＝k7k2x-2k3k2+2＝tx-5t+2，可得DE的方程为y＝-(x-8)，由可得，），所以x0-6＝-，y0＝，即(x0-2)2+y06-2y0＝5，化为(x0-2)8+(y0-1)6＝1，D的轨迹是(2，5为半径的圆，存在定点T(2, 1)．试卷第9页，总10页
