2020-2021学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在平面直角坐标系中，已知抛物线＝的焦点为，准线为，则点到准线的距离为（）A.B.C.D.2.已知向量＝㈠㈮㈮㈠䁃，＝㈮㈮䁃，且，其中，，则ᦙ＝（）A.B.㈠C.D.㈠3.若sin＝cos㈠䁃，则tanᦙ）的值为（）A.B.C.㈠D.-4.在平面直角坐标系中，若椭圆：＝与双曲线㈠＝有相同的焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A.＝B.＝C.＝D.＝5.在平面直角坐标系中，直线ᦙ㈠＝与两坐标轴分别交于点，，圆经过，，且圆心在轴上，则圆的方程为（）A.ᦙᦙ㈠＝B.ᦙ㈠㈠＝C.ᦙᦙͺ㈠＝D.ᦙ㈠ͺ㈠＝6.如图，已知圆柱的底面半径为，与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为（）A.B.C.D.试卷第1页，总13页
7.如图，在三棱柱㈠中，与相交于点，＝＝，＝，＝，＝＝，则线段的长度为（）A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，已知双曲线：-＝㈮䁃的左焦点为，点，在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为（）A.㈠B.㈠C.ᦙD.ᦙ二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分。)9.已知两个不重合的平面，及直线，下列说法正确的是（）A.若‸，‸，则ᦙᦙB.若ᦙᦙ，‸，则‸C.若ᦙᦙ，‸，则‸D.若ᦙᦙ，ᦙᦙ，则ᦙᦙ10.在平面直角坐标系中，，分别为椭圆+＝的左、右焦点，点在椭圆上．若为直角三角形，则的长度可以为（）A.B.C.D.11.如图，直线，相交于点，点是平面内的任意一点，若，分别表示点到，的距离，则称㈮䁃为点的“距离坐标”．下列说法正确的是（）A.距离坐标为㈮䁃的点有个试卷第2页，总13页
B.距离坐标为㈮䁃的点有个C.距离坐标为㈮䁃的点有个D.距离坐标为㈮䁃的点在一条直线上12.世纪年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有条棱、个顶点，个面（个正方形、八个正三角形），它是将立方体“切”去ͺ个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为，则（）A.它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为B.它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直C.它的体积为D.它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.在平面直角坐标系中，已知直线ᦙ＝和直线㈠㈠䁃㈠＝，，若与平行，则与之间的距离为________．14.在空间直角坐标系中，若三点㈮㈠㈮䁃，㈮㈮䁃，㈮㈮㈠䁃满足：（㈠）‸，则实数的值为________．15.词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术•商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，现有如图所示的“鳖臑”四面体，其中‸平面，＝＝，＝，则四面体㈠的外接球的表面积为________．16.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系，根据图试卷第3页，总13页
上尺寸，溢流孔所在抛物线的方程为________-）＝-________，溢流孔与桥拱交点的横坐标为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算骤.)17.在①sin㈠䁃＝sinᦙsin；②cos＝ᦙ㐮；③的面积＝㈠㈠㐮䁃三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．已知的内角、、的对边分别为，，㐮，______，是边上的一点，＝，且＝，㐮＝，求线段的长．18.在平面直角坐标系中，已知圆：㈠䁃ᦙ＝，动圆与直线＝㈠相切且与圆外切．（1）记圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程；（2）已知㈠㈮䁃，曲线上一点满足＝，求的大小．19.如图，在直三棱柱㈠中，为中点．䁃求证：平面；䁃若，，且‸，求三棱锥㈠的体积．20.在平面直角坐标系中，已知圆ᦙ＝，点，是直线㈠ᦙ＝䁃与圆的两个公共点，点在圆上．（1）若为正三角形，求直线的方程．（2）若直线㈠㈠＝上存在点满足•＝，求实数取值范围．试卷第4页，总13页
21.如图，在四棱锥㈠中，平面‸平面，‸，＝＝，，‸，＝＝，＝䁃．（1）若＝，求直线与平面所成角的正弦值；（2）设二面角㈠㈠的大小为，若ᦙcosᦙ＝，求的值．22.在平面直角坐标系中，已知椭圆：+＝䁃的左顶点与上顶点的距离为，且经过点，）．（1）求椭圆的方程．（2）直线与椭圆相交于、两点，是的中点．若椭圆上存在点满足＝，求证：的面积为定值．试卷第5页，总13页
参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.B2.B3.D4.D5.A6.D7.A8.C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分。9.B,C10.A,B,C11.A,B,C12.A,C,D三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.-15.16.,，,四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算骤.17.若选①sin㈠䁃＝sinᦙsin，可得sincos㈠cossin＝sinᦙsincosᦙsincos，可得sinᦙsincos＝，因为为三角形内角，sin，可得cos＝-，试卷第6页，总13页
因为ͺ㈮䁃，所以＝，可得＝-＝，所以由余弦定理可得＝ᦙ㈠㈠）＝ͺ，在中，由正弦定理＝＝，cos＝＝，所以sin＝sinᦙ）＝+＝，在中，由正弦定理＝＝，解得＝．若选②cos＝ᦙ㐮，由余弦定理可得•，整理可得ᦙ㐮㈠＝㈠㐮，可得cos＝＝-，因为㈮䁃，所以＝，可得＝-＝，所以由余弦定理可得＝ᦙ㈠ͺ㈠）＝ͺ，在中，由正弦定理＝＝，cos＝＝，试卷第7页，总13页
所以sin＝sinᦙ）＝+＝，在中，由正弦定理＝＝，解得＝．若选③的面积＝㈠㈠㐮䁃，可得㐮sin＝-，可得sin＝-，可得tan＝-，因为㈮䁃，所以＝，可得＝-＝，所以由余弦定理可得＝ᦙ㈠㈠）＝ͺ，在中，由正弦定理＝＝，cos＝＝，所以sin＝sinᦙ）＝+＝，在中，由正弦定理＝＝，解得＝．18.设㈮䁃∵动圆与圆：㈠䁃ᦙͺ＝外切，∴，①又动圆与直线＝㈠相切，∴＝ᦙ，②试卷第8页，总13页
由①②消去得＝，曲线的轨迹方程为＝ͺ；如图，过作作抛物线＝ͺ的准线的垂线，垂足为，由抛物线定义可得＝，又＝，则，∴．19.䁃证明：连接交于点，连接，∵四边形是平行四边形，∴是的中点.又是的中点，∴.又平面，平面，∴平面．䁃解：∵，平面，平面，∴平面，∴㈠㈠㈠.∵，，是的中点，‸，∴.又，‸平面，∴㈠，∴三棱锥㈠的体积㈠．20.圆的半径为，若是正三角形，试卷第9页，总13页
∴＝，∴到的距离为，∴＝，∴＝，∴直线的方程为㈠ᦙ＝或㈠㈠．∵直线与圆有两个公共点，∴，ᦙᦙ＝＝，的中垂线方程为＝㈠，联立方程组可得，），∴以为直径的圆的方程为ᦙ）ᦙ㈠）＝㈠，∵直线㈠㈠＝上存在点满足•，∴直线㈠㈠，∴，解得-．21.∵平面‸平面，平面平面＝，平面，∴‸平面，又‸，∴，，以为原点，以，为坐标轴建立空间直角坐标系㈠，则㈮㈮䁃，，䁃，，䁃，，䁃，若＝，则为的中点，，䁃，∴＝㈮䁃，，，䁃，，，䁃，设平面的法向量为＝，，则，试卷第10页，总13页
即，令＝可得，㈠，∴cos，＝＝＝，故直线与平面所成角的正弦值为．＝㈠，，＝，，＝，，＝，，∴＝+＝ᦙ，，∴＝，，∴‸，‸，∴‸平面，∴是平面的一个法向量，设平面的法向量为＝㈮㈮䁃，则，即，令＝可得＝㈮䁃，∴cos＝＝，∵二面角㈠㈠的大小为，且ᦙcosᦙ＝，∴＝，解得＝，即＝．试卷第11页，总13页
22.由题意可得ᦙ＝），且+＝，解得＝ͺ，＝ͺ，或＝，＝ͺ（舍），所以椭圆的方程为+＝；设㈮䁃，㈮ͺ䁃，设直线的方程为＝ᦙ㐶，与椭圆ᦙ＝ͺ，可得ᦙ䁃ᦙ㐶ᦙ㐶ͺ㈠ͺ＝，设㈮䁃，㈮䁃，可得ᦙ＝-，＝，ᦙᦙ＝•＝•＝•，可得（，-），由＝，），代入椭圆方程可得ͺ㐶ᦙ㐶＝ᦙͺ䁃，化为ᦙ＝㐶，到直线的距离为＝＝，试卷第12页，总13页
所以＝ᦙᦙ＝•＝•＝，当直线的斜率为时，设方程为＝，㈮䁃，㈠䁃＝ͺ，即＝，＝•ᦙᦙ＝．综上可得，的面积为定值．试卷第13页，总13页
