2020-2021学年江苏省常州市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.前8题为单选，后4题为多选.)1.已知集合A={-3, -2, 0, 1, 2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(∁RB)=()A.{-3, -2, 0}B.{0, 1, 2}C.{-2, 0, 1, 2}D.{-3, -2, 0, 1, 2}2.已知a＝log0.63，b＝0.63，c＝30.6，则（）A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a3.命题“∀x∈R，x2>-1”的否定是（）A.∃x∈R，x2<-1B.∀x∈R，x2≤-1C.∃x∈R，x2≤-1D.∀x∈R，x2<-14.如果a<b<0，那么下面一定成立的是（）A.ac2<bc2B.a-b>0C.a2>b2D.1a<1b5.不等式x-3x-1≤0的解集为（）A.{x|x<1或x≥3}B.{x|1≤x≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|1<x<3}6.若x，y均大于零，且x+y=2，则1x+4y的最小值为( )A.5B.4C.9D.927.已知定义在[m-5, 1-2m]上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则f(m)的值为( )A.-8B.8C.-24D.248.函数f(x)=(x-3)(ax-b)为偶函数，且在(0, +∞)上单调递增，则f(2-x)>0的解集为（）A.{x|-2<x<2}B.{x|x>5或x<-1}C.{x|0<x<4}D.{x|x>4或x<0}9.设A={x|x2-x-2=0}，B={x|ax-1=0}，A∩B=B，则实数a的值可以为（）A.12B.0C.-1D.-1210.下列不等式中可以作为x2<1的一个必要不充分条件的有（）A.0<x<2B.x<1C.-1<x<0D.x<211.下列四个命题：其中正确的命题是（）A.函数f(x)=2x2+2x+3在[0, +∞)上单调递增B.y=1+x和y＝1+x2表示同一个函数C.当a>b>c时，则有ab>ac成立D.若二次函数f(x)=ax2+bx+2图象与x轴没有交点，则b2-8a<0且a>012.设正实数a，b满足a+b=1，则下列选项中，正确的有（）试卷第7页，总7页
A.ab≤12B.1a+1b≤4C.a+b≤2D.a2+b2≥12二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）)13.若x>1，则x+1x-1的最小值是________．14.若命题：“∀x∈R，ax2-ax-1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．15.已知符号函数sgn(x)=1,x>00,x＝0-1,x<0，若函数f(x)=x|x|-1⋅sgn(x)，则不等式f(x)>0的解集为________．16.若关于x的不等式(2x-5)2≥kx2恰好有三个整数解，则实数k的取值范围是________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)17.化简求值：（1）(0.027)-13-(-78)0+4-0.5；（2）21og1312-log3329+log38-3log35．18.已知条件p：对任意x∈[3, 4]，不等式2x-2≥m2-3m恒成立；条件q：当x∈[0, 1]时，函数m=x2-2x+1+a．（1）若p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19.设函数f(x)=ax2-(a+1)x+b(a, b∈R)．（1）若不等式f(x)<0的解集为(-1, 3)，求不等式bx2-ax+4<0的解集；（2）若b=1，a≥0，求不等式f(x)>0的解集．20.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)=12x2+20x（万元）．当年产量不小于80千件时，C(x)=51x+10000x-600（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？21.已知函数f(x)＝x2+x，x≥02-x,x<0．（1）若f(a)=6，求实数a的值；（2）画出函数的图象并写出函数f(x)在区间[-2, 2]上的值域；（3）若函数g(x)=f(x)+(2a-1)x+2，求函数g(x)在[1, 4]上最大值．试卷第7页，总7页
22.已知函数f(x)＝|3x-2x|(x>0)．（1）当0<a<b且f(a)=f(b)时，①求1a+1b的值；②求b+a2ab的最小值；（2）已知函数g(x)的定义域为D，若存在区间[m, n]∈D，当x∈[m, n]时，g(x)的值域为[m, n]，则称函数g(x)是D上的“保域函数”，区间[m, n]叫做“等域区间”．试判断函数f(x)是否为(0, +∞)上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．试卷第7页，总7页
参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省常州市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.前8题为单选，后4题为多选.1.C2.A3.C4.C5.C6.D7.A8.B9.A,B,C10.B,D11.A,D12.A,C,D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.314.[-4, 0]15.{x|x<-1或x>1}16.(1219, 814]三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.(0.027)-13-(-78)0+4-0.5=(0.33)-13-1+(22)-12=0.3-1-1+2-1=103-1+12=176；21og1312-log3329+log38-3log35=log34-log3329+log38-5=log3(4×932×8)-5=2-5=-3．18.命题p：对任意x∈[3, 4]，不等式2x-2≥m2-3m恒成立．若p真，可得当x∈[3, 4]时，(2x-2)min≥m2-3m，即4≥m2-3m，所以-1≤m≤4．对于条件q，当x∈[0, 1]时，函数m=x2-2x+1+a=(x-1)2+a∈[a, a+1]，记A=[-1, 4]，B=[a, a+1]，因为p是q的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以a≥-1a+1≤4，且等号不等同时取，所以-1≤a≤3．19.函数f(x)=ax2-(a+1)x+b(a, b∈R)，由不等式f(x)<0的解集为(-1, 3)，得a>0；且-1和3是方程ax2-(a+1)x+b=0的两根；则a+1a＝-1+3＝2ba＝-1×3＝-3，解得a=1，b=-3；所以不等式bx2-ax+4<0可化为-3x2-x+4<0，即3x2+x-4>0，解得x<-43或x>1；试卷第7页，总7页
所以该不等式的解集为(-∞,-43)∪(1,+∞)．b=1时，不等式为ax2-(a+1)x+1>0，可化为(ax-1)(x-1)>0，则若a>0，则不等式化为(x-1a)(x-1)>0，令1a＝1，得a=1，当a>1时，1a<1，解不等式得x<1a或x>1；当a=1时，不等式为(x-1)2>0，解得x≠1；当0<a<1时，1a>1，解不等式得x<1或x>1a；若a=0，则不等式化为-x+1>0，解得x<1；综上知：当a>1时，不等式的解集为(-∞,1a)∪(1,+∞)；当a=1时，不等式的解集为{x|x≠1}；当0<a<1时，不等式的解集为(-∞,1)∪(1a，+∞)；当a=0时，不等式的解集为(-∞, 1)．20.解：(1)∵每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，当0<x<80时，L(x)＝(0.05×1000x)-(12x2+20x)-200＝-12x2+30x-200.当x≥80时，L(x)＝(0.05×1000x)-(51x+10000x-600)-200＝400-(x+10000x)．∴L(x)＝-12x2+30x-200，0<x<80,400-(x+10000x)，x≥80.(2)当0<x<80时，L(x)＝-12(x-30)2+250，则当x=30时，所获利润最大，最大利润为250万元.当x≥80时，L(x)＝400-(x+10000x)≤400-2x⋅10000x＝400-200＝200，当且仅当x=10000x，即x=100试卷第7页，总7页
时，等号成立，则当x=100时，所获利润最大，最大利润为200万元.由于250>200，∴当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元．21.①当a≥0时，f(a)=a2+a=6，解得a=2，②当a<0时，f(a)=2-a=6，解得a=-4由上知a=2或a=-4．函数f(x)的图象如右图：，∵f(0)=0，f=22+2=6，f(-2)=2-(-2)=4，∴由图象知函数f(x)的值域为[0, 6]．（1）当x∈[1, 4]时，g(x)=f(x)+(2a-1)x+2=x2+2ax+2，配方得g(x)=(x+a)2+2-a2，当-a≤52即a≥-52时，g(x)max=g(2)=18+8a，当-a>52即a<-52时，g(x)max=g(3)=3+2a，综上，g(x)max＝18+8a,a≥-523+2a,a<-52．22.由题意，f(x)＝2x-3，0<x<233-2x，x≥23，∴f(x)在(0,23)为减函数，在(23，+∞)上为增函数．①∵0<a<b，且f(a)=f(b)，∴0<a<23<b，且2a-3＝3-2b，∴1a+1b＝3．②由①知，1b＝3-1a＝3a-1a，∴b+a2ab＝1a+ab＝1a+3a-1≥23-1当且仅当a＝33时“=”成立，即b+a2ab的最小值为23-1．假设存在[m, n]∈(0, +∞)，当x∈[m, n]时，f(x)的值域为[m, n]，则m>0．∵f(23)＝0，∴23∉[m,n]．①0<m<n≤23，∵f(x)在(0,23)上为减函数，∴2m-3＝n2n-3＝m，解得m=n或m⋅n=2，不合题意．②若23<m<n，∵f(x)在(23，+∞)上为增函数，∴3-2m＝m3-2n＝n，即m，n为方程x2-3x+2=0在(23，+∞)上的两个不等实数根．解得m＝1>23n＝2，符合题意．综上，存在实数m=1，n=2，当x∈[m, n]时，f(x)试卷第7页，总7页
值域为[m, n]， 即f(x)是(0, +∞)上“保域函数”． 其等域区间为[1, 2]．试卷第7页，总7页
