2019-2020学年江苏省常州市某校高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合＝‸〱〱〱，＝〱〱，的子集个数为（）A.‸B.C.D.2.函数t‸lg͵t的定义域为（）A.‸〱͵B.‸〱͵C.͵〱D.‸〱3.已知函数与分别由表给出，则͵()‸͵͵͵‸͵A.B.‸C.͵D.4.已知函数＝‸‸3，且3的图象恒过定点，则的坐标为（）A.3〱‸B.t‸〱‸C.t‸〱D.3〱5.函数＝t的零点所在的区间是（）A.3〱‸B.‸〱C.〱͵D.͵〱6.函数＝tlg‸的大致图象为（）A.B.C.D.͵7.若幂函数＝的图象经过点͵〱，则＝（）͵‸‸A.B.C.͵D.͵‸‸㌳䁖8.已知，㜠㠱‸͵，͵，则（）͵A.൏൏B.൏൏C.൏൏D.൏൏9.已知＝是定义在上的奇函数，且当3时，＝t‸，则试卷第1页，总7页
log‸‸‸䁖‸䁖A.B.tC.t‸䁖D.‸䁖‸‸10.“弯弓射雕”描述的是游牧名族的豪迈气氛，当弓箭以每秒米的速度从地面垂直向上射箭时，秒时弓箭距离地面的高度为米，可由＝t䁖确定，已知射箭͵秒是弓箭距离地面的高度为‸͵䁖米，则可能达到的最大高度为（）A.‸͵䁖米B.‸3米C.‸䁖米D.‸3米11.已知函数的定义域为，对于任意，都满足t＝，且对于任意t的，t〱3，当时，都有൏3，若t൏lg，则实数t的取值范围是（）‸‸A.㌳t〱B.t〱‸33〱‸33‸33‸‸C.㌳〱‸33D.㌳3〱‸33〱‸33‸3312.已知函数＝，＝，两者的定义域都是，若对于任意，存在3，使得3，3，且3＝3，则称，为“兄弟函数”，t‸已知函数＝ݔ〱ݔ，是定义在区间〱͵上的“兄弟函͵‸数”那么函数在区间〱͵的最大值为（）͵͵䁖A.͵B.C.D.‸͵͵二、填空题：共4题，每题5分，共20分)13.若集合＝t〱‸，＝3，且，则实数的取值范围为________．14.已知函数在上为偶函数，且3，时，＝͵t，则当൏3时，＝________．15.已知函数＝t在t〱‸上是单调递增函数，则实数的取值范围是________．͵t〱316.已知，函数，若对于任意的t〱，tt〱3恒成立，则实数的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分)‸͵͵‸t17.（1）已知，化简：t͵；17.tlog（2）求值：͵͵㜠㠱‸3lglg͵㜠㠱．18.设＝，＝t൏൏〱3，＝t‸．（1）若＝，求；试卷第2页，总7页
（2）若＝，求实数的取值范围．19.已知函数t‸是奇函数．t‸（1）求实数的值；（2）求证：函数在3〱上是单调增函数．20.甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为33元甲、乙两商场销售方武如下：在甲商场买一双售价为3元，买两双每双售价为3元，依次类排，每多买一双则所买各双售价都再减少3元，但每双售价不能低于3元；乙商场一律按标价的䁖㤱销售．（1）分别写出在甲、乙两商场购买双运动鞋所需费用的函数解析式和．（2）某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少？21.已知函数＝tt‸．（1）当＝䁖时，作出函数的图象；（2）是否存在实数，使得函数͵〱在区间͵〱上有最小值，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．22.对于定义域为的函数＝，如果存在区间〱，同时满足；①在〱内是单调函数；②当定义域是〱时，的值域也是〱，则称〱是该函数的“优美区间”．‸（1）求证：3〱是函数的一个“优美区间”．（2）求证：函数不存在“优美区间”．t‸（3）已知函数〱3有“优美区间”〱，当变化时，求出t的最大值．试卷第3页，总7页
参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省常州市某校高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.C2.B3.A4.C5.B6.D7.D8.A9.C10.D11.D12.C二、填空题：共4题，每题5分，共20分13.〱14.t͵15.t‸〱316.3〱三、解答题：本大题共6小题，共70分17.∵，‸͵͵‸t∴t͵，＝t͵＝；tlog͵͵㜠㠱‸3lglg͵㜠㠱，‸͵㜠㠱‸3lg，‸͵‸͵．18.∵＝t〱‸，∴＝t〱t‸〱，∵＝，∴＝3〱，∴＝‸〱，∵＝，∴，t൏t∴，‸∴，t‸∴．19.法一：定义域为3，∵是奇函数，试卷第4页，总7页
∴t＝t对于定义域内的任意恒成立．∴t‸t‸，tt‸t‸∴t，‸tt‸∴＝‸t，∴t‸＝3，∵该式对于定义域中的任意都成立，∴＝3即＝t，法二：定义域为3，∵是奇函数，∴t‸＝t‸，∴t‸t‸，解得＝t，t‸t‸‸t‸t‸检验：当＝t时，t‸t，定义域为3关于原点对称，t‸t‸‸tt‸∴tt，tt‸t‸∴是奇函数，证明：在3〱内任取‸，，‸൏，tttt‸‸t‸t‸t‸tt‸‸‸t‸t‸，∵3൏൏∴‸t‸，t‸3，t‸3，‸∴‸൏，∴在3〱上单递增．33t3〱‸‸〱20.，＝33．3〱‸〱若单位购买少于‸3双，去乙商场花费较少，若购买‸3双，则去两家商场花费相同，若购买超过‸3双，则去甲商场花费较少t䁖t‸〱䁖〱21.当＝䁖时，t䁖t‸tt䁖t‸〱൏䁖㌳假设存在实数，使得函数在区间͵〱上有最小值，＝tt‸，͵〱．‸t‸‸当͵时，tt‸t‸tt，‸‸对称轴方程为，∵͵，∴，∴在͵〱上单调递增，∴min＝͵＝͵t，∴͵t＝，∴＝t‸．当͵൏൏时，∵＝3൏，∴不可能有最小值（舍去），͵当时，＝tt‸＝t‸t‸t‸tt，‸对称轴方程为，‸䁖∵，∴，试卷第5页，总7页
䁖‸①当即时，min＝＝͵t，∴͵t＝，∴3，͵3又∵，∴舍去．͵‸②当即时，min＝͵＝t͵，∴t͵＝，∴＝．综上：＝t‸或＝．‸22.∵在区间3〱上单调增．又∵3＝3，＝，∴值域为3〱，∴区间3〱是＝的一个“优美区间”．设〱是已知函数定义域的子集．∵3，〱t〱3或〱3〱，∴函数在〱上单调递减．‸若〱是已知函数的“优美区间”，则，t由（1）t得：tt，∴t，∵，∴＝，∴．代入（1）等式不成立，∴函数不存在优美区间．设〱是已知函数定义域的子集．∵3，〱t〱3或〱3〱，t‸‸‸∴函数t在〱上单调递增．若〱是已知函数的“优美区间”，则，试卷第6页，总7页
‸‸∴、是方程t，即t‸＝3的两个同号且不等的实数根．‸∵3，∴，同号，只须＝͵t‸3，即‸或൏t͵，∵ttt‸‸t͵t，͵͵͵∴当＝͵时，t取最大值．͵试卷第7页，总7页
