2019-2020学年江苏省南通市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.oo化为弧度数为（）oA.B.C.D.2.已知集合ൌሼሼൌ，集合＝ሼ‹ሼ，则中元素的个数为（）A.B.C.D.3.已知弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长为（）A.B.sinC.D.sinsin‹ሼ4.函数ሺሼݔൌ的定义域为（）lnሺሼaݔA.ሺ‹൭B.‹൭C.ሺ‹oݔሺo൭D.‹oݔሺo൭5.计算：lgalogሺlg‹ݔሺൌݔA.lgB.C.lg‹D.lg6.若＝ሺሼݔെoሺ‹ݔooሺ则，＝ݔሺ且，数函奇的为期周上是ݔ＝（）A.B.C.െD.7.函数ሺሼݔ＝ሺሼ‹oሼ‹ooݔlgሺሼ‹oെݔ的零点的个数为（）A.oB.C.D.ሼ8.把函数＝ሼ的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为ൌ，则的值为（）A.B.logC.logD.9.已知＝ሼ，＝ሼሼ，＝ሺሼሼݔoሺሼ，ሼݔ，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.10.已知函数ሺሼݔሼሺ则，ሼሼ㈍洠ൌݔሺ足满ݔ的解析式是（）ሼaሼA.logሼB.‹logሼC.‹ሼD.ሼ‹aሼ11.已知函数ሺሼݔൌ，ሼ，则不等式ሺሼ‹ሼݔሺሼ‹ݔ的解集为()aሼA.ሺݔoሺ.Cݔሺ.BݔD.ሺ൭12.已知直线ሼ＝，ሼ＝与函数＝lgሼ的图象交于，两点，与函数＝lnሼ的图试卷第1页，总7页
象交于，两点，则直线与的交点的横坐标（）A.大于oB.等于oC.小于oD.不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在指定的位置上．)13.已知实数，，，满足＝，＝，＝，＝，则＝________．14.已知函数ሺሼݔሺ则，oൌݔaሺ若，ݔሺ‹aሼൌݔൌ________．ሼ‹15.若函数ሺሼݔൌ洠㈍ሺሼa‹ݔ的值域为，则实数的取值范围为________．ሼ洠㈍ሼa洠㈍െൌሼൌሼ16.已知ሼᦙo且ሼ，ᦙo且，方程组的解为洠㈍ሼ‹洠㈍െൌൌሼൌሼ或ൌ，则lgሺሼሼݔ＝________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17.设集合＝ሼሼ‹ሼa＝o，集合＝ሼሼaሺaݔሺo＝ݔ‹ሺaሼݔ．（1）若＝，求实数的值；（2）若＝，求实数的取值范围．18.已知函数ሺሼݔൌሼaa（，为常数）．ሼ（1）若ሺݔaሼ当；值的，求，ൌݔሺ且＝ݔ时，判断并证明函数ሺሼݔ的单调性；（2）若＝＝，讨论方程ሺሼݔ＝解的个数．19.“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资o万元，根据行业规定，每个城市至少要投资o万元，由前期市场调研可知：甲城市收益ሺሼݔ与投入ሼ（单位：万元）满足ሺሼݔൌሼ‹，乙城市收益ሺሼݔ与投入ሼ（单位：万元）满足ሺሼݔൌሼa，设甲城市的投入为ሼ（单位：万元），两个城市的总收益为ሺሼݔ（单位：万元）（1）求ሺሼݔ及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？20.设ሺሼݔaሼ‹ሼሺnl＝ݔሼሺ，时oᦙሼ当且，数函奇的上是ݔ，．（1）若ሺݔሼሺ求，ln＝ݔ的解析式；（2）若＝o，不等式ሺሼݔaaሼሺaݔᦙo恒成立，求实数的取值范围．21.设函数ሺሼݔ＝ሼ‹‹ሼ在定义域具有奇偶性．（1）求的值；（2）已知ሺሼݔ＝ሼa‹ሼ‹ሺሼݔ在aݔ上的最小值为‹，求的值．22.定义域为的奇函数ሺሼݔ同时满足下列三个条件：①对任意的ሼ，都有ሺሼaݔሼሺ‹＝ݔ；试卷第2页，总7页
②ሺݔ＝；a③对任意，o൭且，都有ሺݔሺaݔሺݔ‹ሺൌݔ成立，其中o．（1）求的值；oooo（2）求ሺݔaሺݔaሺݔ的值．试卷第3页，总7页
参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省南通市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.C3.C4.C5.B6.D7.C8.B9.A10.B11.A12.B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在指定的位置上．13.14.‹െ15.16.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.由题可知：＝，∵＝，∴．∴aሺaݔ‹ሺaݔ＝o；∴a‹＝o，解得：＝或＝‹．当＝时，＝‹，满足＝；当＝‹时，＝，满足＝；∴＝或＝‹．因为＝；＝；∴．若＝，则方程ሼaሺaݔ‹ሺ‹ݔaሺ＝须，根无o＝ݔ‹ሺaሼݔo解得：‹．aൌ‹ሺaݔ若＝，则需满足方程组无解；ൌ‹aൌ‹ሺaݔ若＝，则须满足方程组无解；ൌ‹aൌ‹ሺaݔ＝，需满足方程组无解；ൌ‹综上可得：实数的取值范围是：ሺ‹‹ݔ．ሼaaሼᦙoሼ18.当＝＝时，ሺሼݔൌሼaaൌ；ሼ‹ሼaaሼoሼ试卷第4页，总7页
当ሼᦙo时，ሺሼݔ在ሺo，上单调递减，在ሺaݔ上单调递增；ሺሼݔ当ሼo时，ሺሼݔ单调递减；ሺሼݔ；故当时，方程ሺሼݔ＝有个解；当ൌ时，方程ሺሼݔ＝有个解；当ᦙ时，方程ሺሼݔ＝有个解．19.ሺሼݔ＝ሺሼݔaሺo‹ሼݔ＝ሼ‹aሺo‹ሼݔa＝ሼ‹ሼa．ሼo由题意可知，解得oሼെo．o‹ሼo故ሺሼݔ的定义域为oെo൭．ሺሼݔെ‹ሼሺ‹ൌݔo‹ሼ‹ሼሺ‹ൌݔa，当ሼൌെ即ሼ＝时，ሺሼݔ取得最大值．∴在甲城市投资万元，乙城市投资万元总收益最大．20.ሺݔ‹ሺnl＝ݔ＝ln，∴＝，∴当ሼᦙo时，ሺሼݔaሼ‹ሼሺnl＝ݔ；∵当ሼo时，‹ሼᦙo，又ሺሼݔ是上的奇函数，∴ሺሼݔaሼaሼሺnl‹＝ݔሼ‹ሺ‹＝ݔ；当ሼ＝o时，根据ሺሼݔ是上的奇函数，得ሺoݔ＝o，lnሺሼ‹ሼaݔሼᦙo∴ሺሼݔൌoሼൌo．‹lnሺሼaሼaݔሼolnሺሼaݔሼᦙo当＝o时，ሺሼݔaሼሺnl＝ݔൌoሼൌo，‹lnሺሼaݔሼo由ሺሼݔ的解析式知，ሺሼݔ在上单调递增，∵ሺሼݔaaሼሺaݔሼሺ由∴，数函奇的上是ݔᦙo恒成立，可得ሺሼaaݔሼ‹ሺᦙݔ恒成立，再由ሺሼݔ在上单调递增，知ሼaaᦙ‹ሼ恒成立，ሼaሼa∴ᦙ‹ሼa恒成立，∴只需ᦙሺ‹ሼaݔmax，ሼaሼ∵‹ൌ‹ሺaݔa൭a‹，ሼaሼaሼa∴ᦙሺ‹ሼݔmaxൌ‹．a∴的取值范围为ሺ‹aݔ．21.若ሺሼݔ为奇函数，则ሺoݔ＝o，∴‹＝o，解得＝；试卷第5页，总7页
若ሺሼݔ‹ሺ＝ݔሺ则，数函偶为ݔ，∴‹ൌ‹，解得＝‹；∴的值为．当＝时，ሺሼݔ＝ሺሼ‹‹ሼݔa‹ሺሼ‹‹ሼݔ，ሼ‹ሼ令＝‹，则，∴＝‹a，①当时，minൌ‹aൌ‹，解得ൌᦙ，舍去；②当ᦙ时，minൌ‹aൌ‹，则＝，解得＝或＝‹（舍）；∴当＝时，＝；当＝‹时，ሺሼݔ＝ሺሼa‹ሼݔ‹ሺሼa‹ሼݔ‹，ሼ‹ሼ令＝a，则，∴＝‹‹，①当时，minൌ‹‹ൌ‹，解得ൌ；②当ᦙ时，minൌ‹‹ൌ‹，解得＝o（舍）；综上，当＝时，＝；当＝‹时，ൌ．22.∵ሺሼݔሺ∵又；o＝ݔoሺ∴；数函奇的为域义定为ݔ＝，a对任意，o൭且，都有ሺݔሺaݔሺݔ‹ሺൌݔ成立，其中o．oa∴ሺݔሺ＝ݔሺaݔoሺݔ‹ሺ＝ݔ．∴ሺݔ＝；oa同理，ሺݔሺ＝ݔሺaݔoሺݔ‹ሺ＝ݔ．∴ሺݔ＝；aሺݔሺaݔሺݔ‹ሺ＝ݔ＝‹a．∴ሺݔ＝‹，aሺݔሺaݔሺݔ‹ሺ＝ݔ．∴ሺݔ‹ሺaݔ‹ሺ＝ݔ．∴＝ሺ‹ݔ‹ሺaݔ；即‹a＝o又∵o．∴ൌ．试卷第6页，总7页
ooaሺݔ‹ሺ‹＝ݔ‹ሺ＝ݔሺ＝ݔaሺ＝ݔaെooሺ＝ݔሺ＝ݔ＝ሺݔ．∵ሺሼaݔሼሺ＝ݔaሼሺ∴ݔሼሺ‹＝ݔ∴＝．由（1）可知ሺݔሺ；ൌݔൌ．oሺݔሺ＝ݔ‹ሺ＝ݔሺ＝ݔaሺ＝ݔൌ．ooሺݔሺ＝ݔ‹ሺ＝ݔሺ＝ݔaെሺ＝ݔ．a由于ሺݔሺ＝ݔሺ∴．ݔሺൌaݔሺൌݔ‹．a而ሺݔሺൌݔሺaݔ‹ݔሺሺ＝ݔሺaݔሺൌݔ‹．∴ሺݔሺൌݔ‹ൌ；∴解得ሺݔൌ．oooo∴ሺݔሺaݔሺaݔሺ＝ݔሺaݔሺaݔൌaaൌ．试卷第7页，总7页
