2019-2020学年山东省青岛市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.命题“∀x≥0，x2-1≥-1”的否定是（ ）A.∀x≥0，x2-1<-1B.∀x<0，x2-1<-1C.∃x≥0，x2-1<-1D.∃x<0，x2-1<-12.已知空间向量a→=(1, 0, 1)，b→=(1, 1, n)，且a→⋅b→=3，则向量a→与b→的夹角为( )A.π6B.π3C.π3或2π3D.π6或5π63.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A.25B.15C.310D.1104.已知甲、乙两组数据用茎叶图表示如图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值mn等于( )A.38B.29C.13D.125.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )A.1716B.1C.78D.15166.设F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆上存在一点P使得|PF1|-|PF2|=3b，|PF1|⋅|PF2|=94ab，则该椭圆的离心率为( )A.23B.223C.13D.247.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20, 45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )试卷第9页，总9页, A.31.6岁B.32.6岁C.33.6岁D.36.6岁8.方程x2+y2+x+(m-1)y+12m2=0所确定的圆中，最大面积是( )A.32πB.34πC.3πD.不存在9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120∘，AB=4，BC=CC1=2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A.-155B.155C.105D.-10510.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e<12，右焦点为F(c, 0)，方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1, x2)( )A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有可能11.下面命题正确的是( )A.“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件B.命题“若x<1，则x2<1”的否定是“存在x<1，则x2≥1”C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件D.设a,b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件12.“微信运动”是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2018年1月至2018年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是( )A.月跑步里程逐月增加试卷第9页，总9页, B.月跑步里程最大值出现在10月C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳13.若干个人站成排，其中不是互斥事件的是( )A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排头”二、填空题)14.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离为________．15.经过坐标原点且和圆x2+y2-2x+4y=0相切的直线的方程是________.16.从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中，任取两张，这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为________．17.P是双曲线x2-y215=1右支上一点，M，N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=4上的点，则|PM|-|PN|的最大值为________．三、解答题)18.已知p：对任意的实数k，函数f(k)=log2(k-a)（a为常数）有意义，q：存在实数k，使方程x2k+1+y23-k=1表示双曲线.若¬q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.19.已知圆C经过点A(2, -1)，且与直线x+y=1相切，圆心C在直线y=-2x上．(1)求圆C的方程；(2)过原点的直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．20.某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．组号分组频数频率第1组[160, 165)50.050第2组[165, 170)n0.350第3组[170, 175)30p第4组[175, 180)200.200第5组[180, 185)100.100合计1001.000试卷第9页，总9页, (1)求频率分布表中n，p的值，并估计该组数据的中位数(保留1位小数)；(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？(3)在(2)的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．21.如图：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD．PA=AB=BC=3，AD=CD=1，∠ADC=120∘．点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上且PN=14PB．(1)证明：MN // 平面PDC；(2)求二面角A-PC-D的正切值．22.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，P是椭圆短轴的一个顶点，并且△PF1F2是面积为1的等腰直角三角形．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l1:x=my+1与椭圆E 相交于M，N两点，过点M作y轴垂直的直线l2，已知点H(32, 0)，问直线NH与l2的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.23.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形.试卷第9页，总9页, (1)求椭圆C的标准方程；(2)设动直线l交椭圆C于P,Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k，k'.若kk'=-b2a2，求证△OPQ的面积为定值，并求此定值.试卷第9页，总9页, 参考答案与试题解析2019-2020学年山东省青岛市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.C2.A3.A4.A5.D6.B7.C8.B9.C10.A11.A,B,D12.B,C,D13.B,C,D二、填空题14.115.y=12x16.2517.6三、解答题18.解：由p可得k>a,由q知x2k+1+y23-k=1表示双曲线，则(k+1)(3-k)<0，即k<-1或k>3,∴¬q：k∈[-1,3]，又∵¬q是p的充分不必要条件，∴a<-1.19.解：(1)设所求圆心坐标为(a, -2a)，由条件得(a-2)2+(-2a+1)2=|a-2a-1|2，化简得a2-2a+1=0，∴a=1.∴圆心为(1, -2)，半径r=2.∴所求圆方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，由题意得|k+2|1+k2=1，解得k=-34，∴直线l的方程为y=-34x．综上所述，直线l试卷第9页，总9页, 的方程为x=0或y=-34x．20.解：(1)由已知：5+n+30+20+10=100，0.050+0.350+p+0.200+0.100=1.000, ∴n=35 ，p=0.300 ，中位数为：170+0.10.06≈171.7，即中位数估计值为171.7.(2)∵第3、4、5组共有60名学生，∴利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：3060×6=3人，第4组：2060×6=2人，第5组：1060×6=1人，∴第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.(3)在(2)的前提下，记第3组的3名学生为c1, c2, c3，第4组的2名学生为d1,d2 ，第5组的1名学生为e1 ，且“第4组至少有1名学生被甲考官面试”为事件A.则所有的基本事件有： (c1，c2)，(c1，c3)，(c1，d1)，(c1,d2)，(c1,e1)，(c2,c3)，(c2,d1) (c2,d2)，(c2,e1)，(c3,d1)，(c3,d2)，(c3,e1)，(d1,d2)，(d1,e1)，(d2，e1), 一共15种， A事件有：(c1,d1)，(c1,d2)，(c2,d1)，(c2,d2)，(c3,d1)，(c3,d2)，(d2,d2)，(d1,e1)，(d2,e1) ,一共9种.∴P(A)=915=35，答：第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率为 35.21.(1)证明：∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，AD=CD=1，∠ADC=120∘，点M是AC与BD的交点，∴AC=1+1-2×1×1×cos120∘=3，∴在正三角形ABC中，BM=3-34=32，在△ACD中，∵M为AC中点，AD=CD=1，∴DM⊥AC，又∠ADC=120∘，∴DM=1-34=12，∴DMBD=1212+32=14．∵点N在线段PB上，且PN=14PB．∴MN // PD，∵MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴MN // 平面PDC．(2)解：由(1)知，∠BAC=60∘，∠DAC=12(180∘-120∘)=30∘，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90∘，∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B(3, 0, 0)，C(32, 32, 0)，A(0, 0, 0)，P(0, 0, 3)，N(34, 0, 334)，M(34, 34, 0)，D(0, 1, 0)，试卷第9页，总9页, AP→=(0, 0, 3)，AC→=(32, 32, 0)，设平面PAC的法向量n→=(x, y, z)，则n→⋅AP→=3z=0，n→⋅AC→=32x+32y=0， 取x=3，得n→=(3, -1, 0)，平面APC的法向量n→=(3, -1, 0)，PC→=(32,32, -3)，PD→=(0, 1, -3)，设平面PCD的法向量m→=(x, y, z)，则m→⋅PC→=32x+32y-3z=0，m→⋅PD→=y-3z=0， 取y=3，得m→=(-1, 3, 1)，设二面角A-PC-D的平面角为θ，则cosθ=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=2325=35，sinθ=1-(35)2=25，tanθ=sinθcosθ=23=63．∴二面角A-PC-D的正切值为63．22.解：(1)由题意可得P(0, b)，F1(-c, 0)，F2(c, 0)，由△PF1F2为面积是1的等腰直角三角形得12a2=1，b=c，且a2-b2=c2，解得b=c=1,a=2，则椭圆E的方程为x22+y2=1.(2)设M(x1, y1)，N(x2, y2)，联立x22+y2=1，x=my+1，⇒(m2+2)y2+2my-1=0，∴y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2，直线NH的方程：y=y2x2-32(x-32)，令y=y1试卷第9页，总9页, ，x=y1(x2-32)y2+32=y1(my2-12)+32y2y2=-mm2+2-12(y1+y2)+2y2y2=-mm2+2+mm2+2+2y2y2=2，∴直线NH与直线l2交点的横坐标为定值2.23.(1)解：设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,依题意，有|F1F2|=2c=4,b=c, 得b=c=2 ，则a2=8，所以椭圆C的标准方程为x28+y24=1.(2)证明：①当直线l与x轴垂直时，设直线l的方程为x=t∈(-22,22)，P(t,y0)(y0>0)，Q(t,-y0).由kk'=-y02t2=-b2a2=-12，且t28+y024=1，解得P(2,2)，Q(2,-2)或P(-2,2),Q(-2,-2)，所以S△OPQ=12×2×22=22，②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n,P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立直线l和椭圆C的方程，得y=mx+n,x28+y24=1,整理得(1+2m2)x2+4mnx+2n2-8=0，Δ=8(4+8m2-n2),x1+x2=-4mn1+2m2,x1x2=2n2-81+2m2, 由kk'=-b2a2=-12，则y1y2x1x2=-12，即(mx1+n)(mx2+n)x1x2=-12，所以2mn(x1+x2)+(1+2m2)x1x2+2n2=0,即2mn⋅(-4mn1+2m2)+(1+2m2)⋅2n2-81+2m2+2n2=0，整理得n2=4m2+2，则Δ=8n2>0,又|PQ|=(1+m2)[(-4mn1+2m2)2-4(2n2-8)1+2m2]=42⋅1+m2n2，点O到直线PQ的距离为d=|n|1+m2,所以S△OPQ=12|PQ|⋅d=22,综上，△OPQ的面积为定值，且此定值为22.试卷第9页，总9页
