2019-2020学年山东省青岛市某校高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、)1.已知全集为R，集合‸㔱⸵R⸵⸵，集合‸㔱⸵ln⸵䁈，则R‸A.䁞B.䁞C.䁞D.䁞2.若点sin䁞cos在角的终边上，则cos‸䁈䁈A.B.C.D.3.已知平面向量‸䁞䁈，‸䀀䁞，若，则‸A.B.C.D.䁈⸵䁞⸵，4.已知函数⸵‸则䁈ݔlog‸⸵ݔ䁈䁞⸵，䁈䁈A.䁈B.C.D.5.若先将函数‸sin⸵ݔ的图象向左平移个单位，再保持图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的倍，得到函数‸䁔⸵的图象，则䁔‸A.䁈B.C.D.lg⸵⸵ݔ6.函数⸵‸的部分图象大致为⸵A.B.C.D.䁈7.已知cos‸，则sin‸䁈䁈A.B.C.D.8.设，为两个平面，则t的充要条件是A.内有一条直线与垂直B.内有一条直线与内两条直线垂直试卷第1页，总9页,C.与均与同一平面垂直D.与均与同一直线垂直9.若函数⸵‸sin⸵sinݔcos⸵coscos的一个极大值点为，则‸A.B.C.D.⸵⸵⸵10.英国数学家泰勒发现了如下公式：cos⸵‸䁈ݔݔ，䁈䁈䁈则下列数值更接近coso的是A.o䁈B.oC.oD.o二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11.下列结论正确的是䁈䁈A.若，则B.若⸵，则⸵ݔ⸵䁈䁈C.若，则lglgD.若，ݔ则，䁈‸ݔ12.在正方体ܥ䁈䁈䁈ܥ䁈中，下列直线或平面与平面ܥ䁈平行的有A.直线䁈B.直线䁈C.平面䁈ܥ䁈D.平面䁈䁈13.若函数⸵‸⸵䁈与䁔⸵‸⸵的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为A.B.䁈C.D.䁈三、填空题，本大题共4个小题，每小题4分，共16分)14.声强级䁈（单位：）由公式䁈‸䁈䁈lg䁈䁈给出，其中为声强（单位：）䁈平时常人交谈时的声强约为䁈，则其声强级为________．一般正常人听觉能忍受的最高声强为䁈，能听到的最低声为䁈䁈，则正常人听觉的声强级范围为________．15.已知等差数列㔱满足：ݔ‸‸，且N，则数列㔱sin的前䁈项和等于________．16.在中，内角，，所对的边分别为，，，若sinݔsin＝sinݔsinsin，的面积‸，则的取值范围为________．试卷第2页，总9页,17.已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且‸‸‸，则三棱锥的外接球与内切球的半径比为________．四、解答题．共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)18.在中，，分别为线段，上的点，，‸，‸，‸，‸．䁈求；求的长度．19.如图，在四棱一ܥ中，底面ܥ为梯形ܥ，t，‸，‸ܥ‸ܥ‸‸䁈，平面ܥt平面ܥ，为ܥ的中点．䁈求证：tܥ；在线段上是否存在一点，使得直线平面？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；20.已知数列㔱满足：‸䁈，‸，‸lg，‸log，N．䁈ݔ䁈䁈证明：数列㔱为等比数列；证明：数列㔱为等差数列；䁈䁈若数列㔱的前项和为，数列㔱的前项和为，数列㔱的前项和为ݔ，证明：．21.图䁈是由菱形ܥ，平行四边形和矩形组成的一个平面图形，其中‸，‸‸䁈，‸，‸，将其，折起使得ܥ与重合，如图．试卷第3页，总9页,䁈证明：图中的平面t平面；求图中点到平面的距离；求图中二面角的余弦值．22.已知函数⸵‸ln⸵⸵ݔ䁈R．䁈求函数⸵的极值；若⸵恒成立，求的值．⸵䁈23.已知自变量为⸵的函数⸵‸ln⸵lnݔ䁈ݔ䁈的极大值点为⸵‸，N，‸o䁈为自然对数的底数．䁈若‸䁈，证明：䁈⸵有且仅有个零点；若⸵䁈，⸵，⸵，，⸵为任意正实数，证明：‸䁈⸵．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2019-2020学年山东省青岛市某校高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1.C2.B3.A4.C5.C6.A7.D8.A9.D10.B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分11.B,C,D12.A,D13.B,C,D三、填空题，本大题共4个小题，每小题4分，共16分14.䁞䁈䁈.15.16.䁞ݔݔ䁈17.四、解答题．共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.解：䁈∵，‸，‸，∴‸，可得‸，∵在中，‸，‸，由正弦定理‸，可得‸，sinsinsinsin䁈∴sin‸‸，∴‸．试卷第5页，总9页,∵中，‸，‸，可得‸‸，∴‸‸，∵，‸，ݔ可得‸，解得‸，‸，ݔ又中，‸，‸，∴由余弦定理可得‸ݔcos䁈‸ݔ‸，可得‸．19.䁈证明：取的中点，连接ܥ，ܥ，䁈因为ܥ且ܥ‸，所以ܥ且ܥ‸，所以四边形ܥ是平行四边形.又t，‸ܥ‸䁈，所以四边形ܥ为正方形，在䀀ܥ中，因为ܥ‸‸䁈，所以ܥ‸；在䀀ܥ中，因为‸ܥ‸䁈，所以ܥ‸.因为‸，所以ܥݔܥ‸，所以ܥtܥ，因为ܥ平面ܥ，平面ܥ平面ܥ‸ܥ，平面ܥt平面ܥ，所以ܥt平面ܥ，又因为平面ܥ，所以tܥ；䁈解：线段上存在一点，满足‸，则为的中点，且平面；证明如下：连接，，因为为ܥ的中点，为的中点，所以ܥ，又ܥ，所以，又平面，平面，所以平面．20.证明：䁈‸䁈，‸，可得，䁈ݔ䁈可得lg‸lg‸lg，ݔ䁈试卷第6页，总9页,由‸lg，可得ݔ䁈‸，则数列㔱为首项为䁈，为公比的等比数列；‸log‸log䁈‸䁈，由ݔ䁈‸䁈，可得数列㔱为首项为，公差为䁈的等差数列；䁈䁈数列㔱，即㔱的前项和:䁈䁈䁈䁈‸䁈‸䁈，䁈䁈数列㔱的前项和为‸䁈，䁈数列㔱，即㔱的前项和为，ݔݔ䁈䁈由‸，ݔ䁈ݔ䁈䁈䁈䁈䁈䁈可得‸䁈ݔݔݔݔ䁈䁈‸䁈，ݔ䁈䁈䁈由䁈䁈恒成立，㔱䁈为N上的递增数列，ݔ䁈可得䁈‸䁈，则．21.䁈证明：由题意，在中，‸ݔ，∴t，又在矩形中，t，且‸，∴t平面，又∵平面，∴平面t平面．解：在图中，连接，，由䁈可知，t.又在菱形ܥ中，‸，∴在直角三角形中，‸‸䁈，‸䁈，∴在中，‸ݔ，t.又∵平面t平面，且平面平面‸，∴t平面.又∵平面，∴点到平面的距离为‸䁈．解：以为坐标原点，分别以，，为⸵，，轴建立空间直角坐标系试卷第7页，总9页,⸵，可得䁞䁞，䁈䁞䁞，䁞䁈䁞，䁞䁞䁈，由䁈可知平面的法向量为‸‸䁞䁈䁞，设平面的法向量‸⸵䁞䁞，∵‸䁈䁞䁞䁈，‸䁈䁞䁈䁞，‸，⸵ݔ‸，由可得‸，⸵ݔ‸，∴‸䁈䁞䁈䁞䁈，∴设二面角为，则cos‸‸，即二面角的余弦值为．22.解：䁈由⸵‸ln⸵⸵ݔ䁈，得㌳⸵‸䁈⸵．⸵当时，㌳⸵，⸵在䁞ݔ上单调递减，⸵无极值；当时，由㌳⸵‸，解得⸵‸，当⸵䁞时，㌳⸵，⸵在䁞上单调递增；当⸵䁞ݔ䁞在⸵，⸵㌳，时ݔ上单调递减．∴⸵在⸵‸时取得极大值‸lnݔ䁈．综上，时，⸵无极值；时，⸵有极大值‸lnݔ䁈，无极小值.若⸵恒成立，由䁈知，当时，㌳⸵，⸵在䁞ݔ上单调递减，又∵䁈‸，∴当⸵䁞䁈时，⸵；当⸵䁈䁞ݔ时，⸵，∴，不存在符合题意的值.若，由䁈知，若⸵恒成立，只需‸lnݔ䁈，令䁔‸lnݔ䁈，则䁔㌳‸ln，由䁔㌳‸，得‸䁈．试卷第8页，总9页,∴当䁞䁈时，䁔㌳，䁔在䁞䁈上单调递减；当䁈䁞ݔ䁞䁈在䁔，㌳䁔，时ݔ上单调递增，且䁔䁈‸，∴lnݔ䁈的解只有‸䁈，因此‸䁈．⸵䁈23.证明：䁈∵⸵‸ln⸵lnݔ䁈ݔ䁈，⸵‸ln⸵⸵䁈ݔ⸵，则㌳⸵‸䁈⸵䁈∴当‸䁈时，䁈䁈．⸵䁈⸵䁈⸵，则䁔㌳⸵‸䁈⸵䁈，令䁔⸵‸⸵⸵∴㌳⸵在䁞ݔ上单调递减，䁈又㌳䁈‸，䁈∴当⸵䁈时，㌳⸵；当⸵䁈时，㌳⸵，䁈䁈∴䁈⸵在䁞䁈上单调递增，在䁈䁞ݔ上单调递减，∴⸵䁈‸䁈，又，，䁈䁈䁈䁈∴䁈⸵在䁞䁈和䁈䁞ݔ上各有一个零点，∴䁈⸵有且仅有个零点；㌳⸵㌳由题意，知⸵‸，则‸．⸵∴当⸵时，㌳⸵；当⸵时，㌳⸵，∴⸵在䁞上单调递增，在䁞ݔ上单调递减，䁈∴‸且⸵‸䁈，䁈因此⸵䁈，∴‸䁈⸵‸䁈䁈．记‸䁈䁈‸，䁈则‸ݔݔݔ䁈ݔ䁈，䁈䁈䁈∴‸䁈ݔ䁈ݔݔݔݔ，䁈䁈䁈䁈上述两式相减，得‸䁈ݔݔݔݔ䁈䁈䁈䁈ݔ‸䁈‸，䁈ݔ∴‸䁈，∴‸䁈⸵‸䁈䁈，即‸䁈⸵．试卷第9页，总9页
