2019-2020学年浙江省杭州市某校高三（上）北斗联盟期中联考数学试卷一、选择题)1.复数粘ް홠ʝوް粘则，）位单数虚为（و쫀杏ްوA.杏B.홠C.D.홠2.双曲线杏쫀杏杏粘杏的焦点坐标为()A.ް홠وް.Dو홠ް.Cوް.Bو，3.若变量，满足约束条件ʝ쫀，则쫀杏的最小值是()쫀ʝ홠，A.쫀B.쫀C.D.4.设ㄳ，命题ǣܽㄳ，命题ǣܽㄳㄳ，则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数ްوް，ʝ杏쫀粘و粘sin杏，下列描述正确的是()A.ሾްو是奇函数B.ሾްو是偶函数C.ሾްو既是奇函数又是偶函数D.ሾްو既不是奇函数也不是偶函数6.某锥体的三视图如图所示（单位：），则该锥体的体积（单位：）是()홠홠홠A.B.C.D.홠杏7.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有홠个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出ް홠Nو个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着ް홠Nو的增加，下列说法正确的是()A.增加，增加B.增加，减小C.减小，增加D.减小，减小试卷第1页，总7页,8.已知函数ްوݐްو홠ʝݐݐް间区开在وް数函若,و홠ʝ쫀杏ްgl粘و上恒有最小值，则实数ݐ的取值范围为()홠홠홠홠A.ް쫀쫀و쫀ް.Bو쫀ްو杏杏杏杏杏杏홠홠홠C.ް쫀وD.ሾ쫀，杏杏杏杏9.如图①，香䁨是以香为直角顶点的等腰ݐ，为线段䁨的中点，是香䁨的中点，香与香䁨䁨分别是以香、香䁨为底边的等边三角形，现将香与香䁨䁨分别沿香与香䁨向上折起（如图②)，则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为()ް홠و直线直线香䁨ް杏و直线䁨䁨直线ްو平面香ܤܤ平面䁨ްᦙو直线香䁨ܤܤ直线A.홠个B.杏个C.个D.ᦙ个10.已知二次函数ްو粘杏ʝʝ杏홠图像上有三点ް쫀홠，ް쫀홠وްوو홠ʝް홠ʝް䁨，ووް，ް香，وو，则当在实数范围内逐渐增加时，香䁨面积的变化情况是()A.逐渐增加B.先减小后增加C.先增加后减小D.保持不变二、填空题)杏홠11.已知正实数，ㄳ满足杏ʝʝㄳʝ쫀홠粘，则杏ʝㄳ的最大值为________.ㄳ三、解答题)12.已知函数ްو粘sin쫀cos.ް홠و求函数ްو在ሾ的值域；杏ް杏وʝ香ް粘وʝް若，，ㄳ，是别分边对的䁨，香，角内，中䁨香在و쫀，求的取值范围.ㄳ13.如图，在三棱锥쫀香䁨中，䁨为等边三角形，䁨粘ᦙ，香䁨粘ᦙ，香䁨试卷第2页，总7页,䁨，cos䁨香粘쫀，为香的中点ᦙް홠و求证：䁨；ް杏و求直线与平面䁨所成角的大小14.已知等差数列满足홠ʝʝ粘，杏ʝᦙʝ粘홠杏，等比数列ㄳ公比ܽ홠，且ㄳ杏ʝㄳᦙ粘杏，ㄳ粘.ް홠و求数列ㄳ的通项公式；ㄳް杏و若数列，满足粘ᦙ쫀ㄳ，且数列的前项和为香，求证：数列的香前项和.杏15.已知抛物线䁨ǣ杏粘ᦙ，，香，为抛物线䁨上不同的三点.ް홠و当点的坐标为ް杏홠و时，若直线香过抛物线焦点䁨且斜率为홠，求直线,香斜率之积；ް杏و若香为以为顶点的等腰直角三角形，求香面积的最小值杏16.已知函数ްو粘쫀(其中为自然对数的底数).ް홠و求ްو的单调区间；ް杏وް程方的于关知已و粘有三个实根，求实数的取值范围杏试卷第3页，总7页,参考答案与试题解析2019-2020学年浙江省杭州市某校高三（上）北斗联盟期中联考数学试卷一、选择题1.D2.B3.B4.C5.B6.A7.C8.A9.C10.D二、填空题11.三、解答题12.解：ް홠و쫀ްnis杏粘وް得意题由و，쫀，所以ްوሾ홠杏.ް杏وʝ香ް粘وʝް由و쫀，ᦙ化简得sinʝsin香粘，ᦙsin쫀sin香ᦙ粘粘粘쫀홠，ㄳsin香sin香sin香홠而sin香홠，홠所以ሾㄳ13.ް홠و证明：分别取线段䁨、香的中点记为、，连结、,因为䁨为等边三角形，则䁨，又ܤܤ香䁨，则䁨，粘，试卷第4页，总7页,则䁨平面，所以䁨.ް杏و解：延长，过做延长线的垂线，垂足记为,易知平面䁨.所以为直线与平面䁨所成角在香䁨中，由余弦定理得：香杏粘䁨杏ʝ香䁨杏쫀杏䁨香䁨cos䁨香粘홠ʝᦙ쫀杏ᦙᦙް쫀وᦙ粘.解得香粘杏杏杏.cosʝcos香粘，求得粘，홠又粘香䁨粘杏，且粘杏，则粘，杏故直线与平面䁨所成的角为.14.ް홠و解：홠ʝʝ粘，杏ʝᦙʝ粘홠杏，粘，ᦙ粘ᦙ，粘홠，홠粘쫀杏粘홠，粘.ㄳ杏ʝㄳᦙ粘杏，ㄳ粘,∴ㄳ홠ʝㄳ홠粘杏，①ㄳ홠杏粘，②홠由得粘杏或粘(舍)，杏∵ㄳ홠粘杏，ㄳ粘杏.ް杏و证明：粘ᦙ쫀杏，ᦙʝ홠杏香粘ᦙ쫀杏ʝ，ㄳ杏홠홠粘粘ް쫀و香杏杏杏쫀홠杏ʝ홠쫀홠ް杏ʝ홠쫀홠وް杏쫀홠و홠粘杏ް홠쫀杏ʝ홠쫀홠و杏.15.解：ް홠و直线香方程：粘ʝ홠，设ް홠홠و香ް杏杏و，试卷第5页，总7页,粘ʝ홠，联立方程杏쫀ᦙ쫀ᦙ粘，杏粘ᦙ，홠ʝ杏粘ᦙ홠杏粘쫀ᦙ.홠쫀홠杏쫀홠香粘홠쫀杏杏쫀杏홠ʝ杏杏ʝ杏粘ᦙᦙ홠杏ʝ杏ް홠ʝ杏وʝᦙ粘홠쫀ᦙʝʝᦙ粘홠홠粘.杏ް杏و杏ݐݐ杏ްوް香وް设و，设直线香斜率为，不妨设ܽ홠홠杏杏设直线香方程쫀ݐ杏粘ް쫀杏ݐو，쫀ݐ杏粘ް쫀杏ݐو联立方程杏쫀ᦙʝݐ쫀ᦙݐ杏粘.杏粘ᦙ홠ʝ杏ݐ粘ᦙ，홠杏ݐ粘ݐ쫀ᦙݐ杏，香粘홠ʝ杏홠쫀杏ݐ粘ᦙ홠ʝ杏쫀ݐ홠홠同理可得粘ᦙ홠ʝʝݐ.杏쫀홠由粘香得ݐ粘.杏ʝ故：粘홠香粘ް홠ʝ杏و杏쫀ݐ杏香杏ްʝ홠و杏ް홠ʝ杏و杏ް杏و杏杏杏粘ް홠ʝو杏ްʝ홠و杏杏ްʝ홠و杏粘홠.当且仅当粘홠时取等号，所以香面积最小值为홠.16.解：ް홠وʝްو쫀ް为域义定的وް：知题由و，杏ްو粘ʝܽ，杏又，ްو在ް쫀و和ްʝو上单调递增.杏ް杏و쫀ް得题由و粘有三个实根，杏杏杏所以ް쫀و粘有三个非零实根，杏即ް쫀و粘有三个非零实根令وް粘وް粘ݐ，∴ްوްو홠ʝް粘و，试卷第6页，总7页,ްو在ް쫀쫀홠و单调递减，ް쫀홠ʝو单调递增杏杏홠وʝް在根个一另و쫀ް在根个一粘쫀ݐ쫀ݐ，ްو，因此只需满足홠ް쫀وܽ，解得ްو；杏홠홠或者一个根等于쫀另一个根在ް쫀و内，此时粘，另一根为ܽ，不满足题意.杏综上所述：ްو.杏试卷第7页，总7页
