2020-2021学年浙江省某校联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）)1.已知＝thh，＝hh，则＝（）A.B.C.hD.thhh2.设复数＝，则的虚部是（）A.B.C.-D.-3.若实数，满足约束条件，则＝㌠的最小值为（）A.tB.C.㌠tD.㌠4.“‴‴”是“‴sin‴”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数ᦙ＝的图象大致为（）A.B.C.D.试卷第1页，总10页,6.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的外接球的体积（单位：）是（）A.B.㌳㌳C.D.7.袋中有个球，其中个白球，个黑球，从袋中随机取球，每次取t个，取后放回，取次，在这次取球中，设取到黑球的次数为，则ᦙ＝（）A.tB.C.D.8.已知ᦙ，函数ᦙ＝㌠，实数，满足ᦙ，ᦙ，若tt，则（）A.t‴B.t＝C.tᦙD.t与的大小关系不能确定9.已知，，ht，则㌠的最大值为（）A.B.C.D.10.在正四棱锥㌠䁞ꀀ香中，䁞＝＝ꀀ＝香＝䁞＝t，点，分别在棱䁞，ꀀ上运动，当达到最小值时，的值为（）A.B.C.D.二、填空题（第11-14题，每空3分，第15-17题，每空4分，共36分）)11.ᦙ的展开式中，常数项是________，的系数为________．12.已知等差数列的公差为，其前项的和为，若，㌳，则________，t________．13.䁞ꀀ中，cosᦙ䁞㌠cosꀀ＝，＝，则角ꀀ＝________，cos䁞cos＝________．试卷第2页，总10页,14.已知ᦙ，ᦙ，ᦙ，圆ꀀ：ᦙ㌠ᦙ㌠＝与轴交于䁞ᦙht，ᦙh两点，且圆ꀀ与轴相切，则＝________，＝________．15.若椭圆＝tᦙᦙᦙ与双曲线有相同的焦点t，，点是两条曲线的一个交点，＝，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，＝，则tttt＝________．16.已知函数ᦙ＝，若关于的不等式ᦙt在上恒成立，则实数的取值范围是________．17.平面向量，，，满足＝，若，＝，-＝t，则+-的最大值是________．三、解答题（本大题共5小题，共74分；要求写出详细的演算或推理过程）)18.已知函数ᦙ＝cos．（1）求ᦙ的最小正周期；（2）求ᦙ在区间上的值域．19.如图，四棱台䁞ꀀ香㌠䁞ttꀀt香t，中，底面䁞ꀀ香为矩形，䁞t䁞平面䁞ꀀ香，䁞t䁞＝䁞t香t＝t，䁞＝䁞香＝．（1）证明：t面䁞ꀀ香t；（2）求直线ꀀtꀀ与平面䁞ꀀ香t所成角的正弦值．试卷第3页，总10页,20.已知数列，满足＝t，t＝t，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．21.设抛物线＝‴上一点ᦙh到焦点的距离等于，过ᦙh㌠t作两条互相垂直的直线t和，其中t的斜率为ᦙᦙ，且t与抛物线交于不同的两点䁞，，与抛物线的准线交于点ꀀ，若，点满足．（1）求抛物线的方程；（2）求ꀀ的面积的取值范围．22.已知函数ᦙ＝㌠tlnᦙ．（1）若＝t，对于给定的点ᦙh，过点恰有两条直线与曲线＝ᦙ相切，求实数的取值范围；（2）①若函数ᦙ＝ᦙ有两个零点t，ᦙ‴t‴，求实数的取值范围；②求证：．试卷第4页，总10页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省某校联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C2.A3.D4.A5.B6.D7.C8.B9.B10.A二、填空题（第11-14题，每空3分，第15-17题，每空4分，共36分）11.,㌳12.t,13.,14.,15.㌳16.，]17.三、解答题（本大题共5小题，共74分；要求写出详细的演算或推理过程）18.因为，所以ᦙ的最小正周期＝＝．因为，所以，试卷第5页，总10页,所以，所以ᦙ在区间上的值域为．19.证明：由题意，延长䁞䁞t，t，ꀀꀀ㌳，香香t可交于一点，记为，连接香与䁞ꀀ交于，连接香t，∵䁞㌳香t＝t，䁞香＝t是香中点，又是香中点，∴香t，∵平面䁞ꀀ香，香t平面䁞ꀀ香t，∴平面䁞ꀀ香，∴t平面䁞ꀀ香t．如图建立空间直角坐标系，ᦙ，，ꀀᦙ，，∴ꀀtᦙthht，∴，，，∴香tᦙhtht，∴，设为平面䁞ꀀ香t的一个法向量，则，∴，可取，又，设直线ꀀtꀀ与䁞ꀀ香t平面所成角为，则．∴直线ꀀꀀ与平面䁞ꀀ香t所成角的正弦值为．20.∵，所以数列为等比数列，公比，试卷第6页，总10页,所以t＝，∴，所以，…，，利用叠加法：∴证明：由（1）得：＝．21.根据题意可得㌠ᦙ㌠）＝㌳，所以抛物线的方程为＝．设䁞ᦙht，ᦙh，ᦙh根据题意可得直线方程为：＝㌠t，直线方程为：＝-㌠t，联立直线t与抛物线的方程得，消掉得㌠ᦙt＝，所以＝，t㌳＝，因为，所以，即＝＝，试卷第7页，总10页,所以㌳＝＝，所以＝＝＝＝，因为直线方程为：＝-㌠t，所以ꀀᦙ㌠t，），所以ꀀ＝＝，所以ꀀ＝ꀀ＝＝，ᦙ＝ᦙᦙ．则̵ᦙ＝ᦙᦙ，令̵ᦙ＝，解得＝，所以ᦙ在ᦙ㌳，）单调递减，上单调递增．所以ᦙmin＝（）＝，所以ꀀ，．22.当＝t时，设切点坐标为（hᦙ），则曲线过的切线方程为：试卷第8页，总10页,，由切线经过点可得，令ᦙ＝ᦙt㌠㌠tln㌠，则，注意到̵＝，且̵ᦙ在ᦙ上单调递减，所以ᦙ在ᦙht上单调递增，上单调递减，故ᦙᦙt＝㌠㌳，而当，ᦙ㌠，当，故若＝ᦙ有两个实根，则的取值范围是‴㌠t；（2）①，当时，̵ᦙᦙ，不可能有两个零点，当‴时，令̵ᦙ＝，则，即，此时所以当‴‴时，̵ᦙ‴，当ᦙ时，̵ᦙᦙ，又当，ᦙ，当，所以要使ᦙ在ᦙ上有两个零点，则ᦙ‴，即，所以，令，注意到ᦙ在ᦙh上单调递增，所以ᦙ，所以．②证明：考虑使用零点存在定理，即，当，ᦙ‴‴t‴，试卷第9页，总10页,另由，记，，当ᦙht且，当ᦙ时̵ᦙᦙ，画出ᦙ的大致图象，如图示㌠ᦙt‴㌠，．试卷第10页，总10页
