2020-2021学年浙江省宁波市某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.设集合䄈ݗ䄈，ܤ髸ܳܳ램ɾݗɾܳȁܤ，若，则ȁ的范围是A.ȁ髸B.ȁ램C.ȁ램D.ȁ髸2.“关于的不等式髸髸ȁȁ的解集为”的一个必要不充分条件是（）램램A.ܳȁܳ램B.ܳȁܳC.ȁ램D.ȁܳ或ȁ3.把根式化成分数指数幂是（）A.髸B.髸C.髸D.髸4.若램ܳܳ，那么下列各不等式成立的是（）A.髸ܳ髸ܳ㌳髸B.髸ܳ㌳髸ܳ髸C.㌳髸ܳ髸ܳ髸D.髸ܳ髸ܳ㌳髸5.下列函数中值域为䁚的是()램램램A.䄈髸B.䄈램C.䄈램D.䄈램髸髸䁪ȁ6.已知偶函数的图象经过点램䁚，且当ȁܳ䁪时，不等式ܳ䁪ȁ恒成立，则使得髸ܳ成立的的取值范围为()A.䁚B.램䁚C.䁚램䁚D.램䁚髸ȁ髸7.设䄈髸髸髸，其中ȁ．若对任意的非零实数램，存在ȁͶȁȁ唯一的非零实数髸램髸，使得램䄈髸成立，则的取值范围为（）A.B.Ͷ䁚C.香䁚D.䁚香髸髸8.已知关于的不等式组髸仅有一个整数解，则的取值范髸髸݇݇ܳ围为（）A.䁚Ͷ䁚B.䁚Ͷ䁚C.䁚Ͷ䁚D.䁚Ͷ䁚二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9.已知关于的不等式ȁ髸䁪的解集为䁚髸䁚，则（）A.ȁB.不等式䁪的解集是ݗɾܳܤC.ȁ䁪试卷第1页，总6页,髸램램D.不等式䁪ȁܳ的解集为䁚䁚髸10.已知正数ȁ，䁪，则下列不等式中恒成立的是（）램램램ȁ髸䁪髸髸ȁ䁪A.ȁ䁪髸髸B.ȁ䁪ͶC.髸ȁ䁪D.ȁ䁪ȁ䁪ȁ䁪ȁ䁪ȁ䁪ȁ䁚11.已知函数䄈髸，若函数的值域为䁚，则下列的ȁ值满足ȁ，ܳ条件的是（）램A.ȁ䄈B.ȁ䄈C.ȁ䄈D.ȁ䄈Ͷ髸12.已知函数䄈髸髸髸램髸，定义域为，值域为램䁚髸，则下列说法中一定正确的是（）A.䄈䁚髸B.䁚램C.D.램三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。)13.计算：램㌳램髸램㌳髸lg髸髸lg髸䄈________．14.已知函数髸램的定义域是䁚램，则函数䄈램的定义域是________．15.给出下列结论：ͶͶ①髸＝髸；②䄈髸램，램䁚髸，的值域是髸䁚；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数䄈ȁ램髸ȁ䁚ȁ램的图象过定点램䁚램；Ͷ⑤若logͶ䄈램，则髸髸的值是．其中正确的序号是________．ȁ16.若对任意的램䁚，不等式髸䁪恒成立，则ȁ䁪的最大值是________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.设集合䄈ݔ髸램ݔɾݗ䄈，ܤ髸ɾݗ램ܤ．（1）若䄈，求ݔ的范围；（2）若䄈，求ݔ的范围．18.已知函数䄈髸ȁ램ȁ．（1）若函数在区间髸ȁ램䁚上单调递减，求ȁ的取值范围；램램（2）若在区间䁚램上的最大值为，求ȁ的值．髸Ͷ试卷第2页，总6页,19.已知函数＝髸ȁ髸Ͷȁ．（1）若关于的不等式ܳ的解集为램䁚䁪，求ȁ和䁪的值；（2）若对램Ͷ，ȁ램恒成立，求实数ȁ的取值范围．20.已知是定义在䁚上的奇函数，且䄈髸，若对任意的ݔ，ݔ䁚，ݔ，都有．ݔ（1）若髸ȁ램ܳȁ，求ȁ的取值范围．（2）若不等式ȁ髸ʹ对任意䁚和ȁ䁚都恒成立，求ʹ的取值范围．21.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ခ，公园由长方形的休闲区램램램ခ램和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区램램램ခ램的面积为Ͷ平方米，人行道的宽分别为Ͷ米和램米（如图）램램（1）若设休闲区的长和宽的比䄈，求公园ခ所占面积关于的函数램램的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区램램램ခ램的长和宽该如何设计？22.已知函数䄈髸ȁȁ䁪ȁ䁚䁪݇（1）若䁪＝髸䁚＝在램䁚上有意义且不单调，求ȁ的取值范围．髸（2）若非空集合䄈ݗ䄈，ܤɾݗɾ램램ܤ，且䄈，求ȁ的取值范围．试卷第3页，总6页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省宁波市某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A2.C3.B4.D5.B6.C7.D8.B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.A,B,D10.A,B,C11.A,C,D12.B,C,D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.14.램䁚log髸15.③④⑤16.ͶͶ四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解：（1）∵䄈ݔ髸램ݔɾݗ䄈，ܤ髸ɾݗ램ܤ，䄈，∴当䄈时，则有ݔ即，램ݔ髸램ݔܳ髸，满足题意；当时，则有ݔ即，램ݔ髸램ݔ髸，髸ݔ램ܳ髸可得，无解，ݔ램综上，ݔ为围范的ݔܳ髸；（2）∵䄈，∴，∴当䄈时，则有ݔ即，램ݔ髸램ݔܳ髸，满足题意；当，则有有ݔ即，램ݔ髸램ݔ髸，ݔ램髸可得，髸ݔ램解得：램ݔ髸，综上，ݔ램或髸ܳݔ为围范的ݔ髸．ȁ18.由题知函数的对称轴方程为䄈，髸试卷第4页，总6页,∵在区间髸ȁ램䁚上单调递减，ȁȁ髸∴髸ȁ램䁚䁚，则髸ȁ램，解得：ȁ；髸髸ȁ由（1）知函数的对称轴方程为䄈，髸ȁ램램当，即ȁ램时，函数在区间䁚램上单调递减，髸髸髸램ȁ램最大值为䄈䄈，解得ȁ䄈髸，与ȁ램矛盾；髸髸ͶͶ램ȁ램ȁȁ髸램当ܳܳ램，即램ܳȁܳ髸时，函数在区间䁚램的最大值为䄈램䄈，髸髸髸髸ͶͶ解得：ȁ䄈，舍去ȁ䄈；ȁ램当램，即ȁ髸时，函数在区间䁚램上单调递增，髸髸램݇的最大值为램䄈ȁ髸䄈，解得：ȁ䄈，与ȁ髸矛盾，ͶͶ综上，ȁ䄈．19.∵不等式ܳ的解集为램䁚䁪，∴由根与系数的关系有램ȁ髸Ͷ＝，∴ȁ＝，∴方程髸Ͷ＝的根为램和Ͷ，ȁ䄈∴䁪＝Ͷ，∴．䁪䄈Ͷ∵对任意램䁚Ͷ，⩾ȁ램恒成立，∴ȁ램髸髸对任意的램䁚Ͷ恒成立，当＝램时，⩽Ͷ恒成立，符合题意，∴ȁ，髸髸当램䁚Ͷ时，等价于ȁ恒成立，램髸髸Ͷ∵䄈램，又램ܳͶ，ܳ램，램램ͶͶ∴램髸램䄈Ͷ，램램Ͷ当且仅当램䄈，即＝时取等号，∴ȁͶ，램∴ȁ的取值范围为䁚Ͷ．20.由以上知是定义在䁚上的单调递增的奇函数，且䄈髸，得在䁚上max䄈䄈䄈髸．在䁚上不等式ȁ髸ʹ对ȁ䁚都恒成立，所以髸ȁ髸ʹ即ȁʹ髸ʹ，对ȁ䁚都恒成立，ʹ令ȁ䄈ȁʹ髸ʹ，ȁ䁚，则只需，即．髸ʹ解得ʹ故ʹ的取值范围䁚．21.解：（1）设休闲区的宽为ȁ米，则其长为ȁ米，试卷第5页，总6页,髸髸램∴ȁ䄈Ͷȁ䄈，∴䄈ȁȁ髸䄈ȁ髸髸ȁ램髸램䄈Ͷ髸램䄈램髸Ͷ램，램䁚（2）램Ͷ램䄈݇，当且仅当髸䄈䄈髸㌳时，公园所占面积最小，此时，ȁ䄈Ͷ，ȁ䄈램，即休闲区램램램ခ램的长为램米，宽为Ͷ米．22.当䁪䄈髸时，䄈髸ȁȁ髸，݇݇由题知：二次函数的对称轴在램䁚之间，且在램䁚上非负，髸髸ȁ݇램ܳܳ所以髸髸，解得ȁ髸髸，髸．不妨设램的解集为ݔ有则，䁚ݔ램，所以䄈ݔɾݗ䄈ܤ램ݔɾݗ䄈ܤ램램ɾݗ램램ܤ，由䄈，得램䄈且minݔ램，由䄈램䄈램得䁪䄈，所以䄈髸ȁȁ，因为䄈ݗܤ，∴䄈ȁ髸Ͷȁ，解得ȁ或ȁͶ，又ݔ以所，根个两的램䄈程方为ݔ，ݔ䄈램ȁ，Ͷȁȁ髸所以min䄈ȁ髸，解得髸髸ȁ髸髸，Ͷ所以ȁ䁚髸髸．试卷第6页，总6页
