2016-2017学年北京市某校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）)1.点䁃到直线ݕ的距离是()A.B.C.D.2.已知过点䁃和䁃的直线与直线ݕ＝垂直，则的值为（）A.B.C.D.3.、、、表示不同的直线，、、表示不同的平面，则下面命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则4.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A.B.C.D.5.给定下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②如果一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；③如果一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A.最长棱的棱长为试卷第1页，总7页,B.最长棱的棱长为C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D.侧面四个三角形都是直角三角形7.在三棱锥中，＝，平面平面，，，＝，则＝（）A.B.C.D.8.一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为䁃A.B.C.D.9.已知六棱锥ܤܥ的底面是正六边形，平面．则下列结论不正确的是䁃A.ܤ平面ܥB.ܤܥ平面ܥC.ܥ平面D.ܥ平面ܤ10.如图，空间四边形ܤ中，对角线，ܤ互相垂直，且长度分别为和，平行于这两条对角线的平面与边，，ܤ，ܤ分别相交于点，ܥ，，，设ܥ的面积为，，则（）A.函数＝䁃满足䁃＝䁃试卷第2页，总7页,B.函数＝䁃的最大值为C.函数＝䁃在䁃上单调递增D.函数＝䁃的值域为二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）)11.如果一个圆锥的底面半径为，侧面积为，那么圆锥的母线与轴的夹角等于________．12.已知两直线：ݕݕ与＝ݕ䁃ݕ䁃＝平行，则＝________．13.若点䁃在圆䁃ݕݕ䁃＝的内部，则实数的取值范围是________．14.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是________．15.过点䁃和ܤ䁃，圆心在上的圆方程是________．16.已知是等腰直角三角形，＝＝，ܤ是斜边上的高，以ܤ为折痕使ܤ成直角．在折起后形成的三棱锥ܤ中，有如下三个结论：①直线ܤ平面ܤ；②侧面是等边三角形；③三棱锥ܤ的体积是．其中正确结论的序号是________．三、解答题：（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）)17.①求斜率且与两坐标轴围成三角形的面积为的直线方程．②一个圆经过䁃和䁃两点，且圆心在直线＝上，求圆的方程．18.已知直线过定点䁃．（1）当倾斜角是直线ݕ＝的倾斜角的二倍时，求直线方程．（2）当与轴正半轴交于点、轴正半轴交于点，且䳌的面积最小时，求直线方程．19.在平面直角坐标系中，已知矩形ܤ的长为，宽为，、ܤ边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合．将矩形折叠，是点落在线段ܤ上．Ⅰ䁃当点落在ܤ中点时，求折痕所在的直线方程．Ⅱ䁃若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在的直线方程与轴的交点坐标．（答案中可以出现）试卷第3页，总7页,20.在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，䳌，ܤ分别是，的中点．䁃求证：䳌ܤ平面；䁃求证：平面平面；䁃求三棱锥的体积．21.在四棱锥ܤ中，底面ܤ为菱形，侧面为等边三角形，且侧面底面ܤ，䳌，ܥ分别为，ܤ的中点．Ⅰ䁃求证：䳌ܤ；Ⅱ䁃求证：平面䳌ܥ平面；Ⅲ䁃侧棱上是否存在点，使得平面䳌ܥ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．试卷第4页，总7页,参考答案与试题解析2016-2017学年北京市某校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.D2.C3.B4.D5.D6.D7.C8.A9.D10.A二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.12.13.䁃14.15.䁃ݕ＝16.①、②、③三、解答题：（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.①由于直线的斜率，设所求直线的方程为ݕ，令＝，得＝；令＝，得，根据直线与两坐标轴围成三角形的面积为，可得䁃＝，求得＝，故所求的直线方程是，即＝．②一个圆经过䁃和䁃两点，且圆心在直线＝上，设圆心为ݕ䁃，则圆心在的中垂线上．∵的斜率为，中点为䁃，故的中垂线为ݕ＝䁃，即＝，∴ݕ䁃＝，求得，可得圆心为䁃，半径为䁃ݕ䁃，故圆的方程为䁃ݕ䁃．18.直线ݕ＝的斜率为，则该直线的倾斜角为，又所求的直线倾斜角为时，它的斜率为，试卷第5页，总7页,所以所求直线方程为䁃，即：ݕ＝；设＝䁃，其中其，令＝，解得＝，令＝，求得＝，∴䳌的面积为䁃䁃＝ݕ，当且仅当时等式成立；所以所求的直线方程为＝．19.（1）点落在ܤ的中点时，折痕过ܤ与䳌中点䁃，∴折痕方程：ݕ＝；（2）①当＝时，此时点与ܤ点重合，折痕所在的直线方程；②当＝时，将矩形折叠后点落在线段ܤ上的点记为䁃，所以与关于折痕所在的直线对称，有＝，＝，解得＝，故点坐标为䁃，从而折痕所在的直线与䳌的交点坐标（线段䳌的中点）为䁃，折痕所在的直线方程ݕ䁃，即：＝ݕݕ；由①②得折痕所在的直线方程为：＝ݕݕ；ݕ所以令＝，得折痕与轴交点坐标为䁃．20.证明ᦙ䁃∵䳌，ܤ分别为，的中点，∴䳌ܤ又平面，䳌ܤ平面∴䳌ܤ平面．ᦙᦙ䁃连接䳌，䳌∵，䳌为中点，，∴䳌，䳌．同理，䳌，䳌．又，∴䳌ݕ䳌，∴䳌．∴䳌䳌．∵䳌䳌，䳌，䳌䳌，∴䳌平面．䳌平面∴平面平面．解ᦙᦙᦙ䁃由ᦙᦙ䁃可知䳌垂直平面，∴䳌为三棱锥的高，且䳌试卷第6页，总7页,∴䳌．21.证明：Ⅰ䁃因为为等边三角形，䳌为的中点，所以䳌．又因为平面平面ܤ，平面平面ܤ＝，䳌平面，所以䳌平面ܤ．又因为ܤ平面ܤ，所以䳌ܤ．（2）连结ܤ，因为四边形ܤ为菱形，所以ܤ．因为䳌，ܥ分别为，ܤ的中点，所以䳌ܥܤ，所以䳌ܥ．由Ⅰ䁃可知，䳌平面ܤ．因为平面ܤ，所以䳌．因为䳌䳌ܥ＝䳌，所以平面䳌ܥ．又因为平面，所以平面䳌ܥ平面．Ⅲ䁃当点为上的三等分点（靠近点）时，平面䳌ܥ．证明如下：设与ܤ，䳌ܥ的交点分别为，，连结，．因为四边形ܤ为菱形，䳌，ܥ分别为，ܤ的中点，所以．设为上靠近点的三等分点，则，所以．因为平面䳌ܥ，平面䳌ܥ，所以平面䳌ܥ．由于ܤ䳌ܥ，䳌ܥ平面䳌ܥ，ܤ平面䳌ܥ，所以ܤ平面䳌ܥ，即平面䳌ܥ．因为＝，所以平面平面䳌ܥ．因为平面，所以平面䳌ܥ．∴侧棱上存在点，使得平面䳌ܥ，且．试卷第7页，总7页
