2019-2020学年北京市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题)1.抛物线＝的焦点坐标为（）A.香䁞B.㌳香䁞C.䁞香D.䁞㌳香2.“＝”是“直线㌳香＝与直线㌳＝垂直”（）A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件3.若双曲线㌳香的左、右焦点分别为香，，点在双曲线上，且香香＝，则等于（）A.香香B.C.D.㌳香cos，4.直线被圆（为参数）截得的弦长为（）sinA.B.C.D.5.如图，在平面直角坐标系系中，是椭圆香的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率为香A.B.C.D.6.设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（）A.若，，则B.若，，则C.若㘠，，则㘠D.若㘠，，则㘠7.已知抛物线＝的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）A.B.C.香D.8.已知香，是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且香，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）试卷第1页，总7页,A.B.C.D.二、填空题)香香9.已知直线的参数方程为（为参数），则其倾斜角为________．香10.若圆系＝香与圆＝相切，则实数＝________．11.若方程香表示的是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________．㌳㌳12.直线与双曲线㌳相交于，两点，若点䁞香为线段的中点，则直线的方程是________．13.已知圆㌳香香，圆与圆关于直线＝香对称，则圆的香香标准方程是________．14.已知椭圆香的两个焦点分别为香和，短轴的两个端点分别为香和，点在椭圆上，且满足香＝香．当变化时，给出下列三个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③系的最小值为，其中，所有正确命题的序号是________．三、解答题)15.已知动点与平面上点㌳香䁞，香䁞的距离之和等于．（1）试求动点的轨迹方程．（2）设直线＝香与曲线交于、两点，当时，求直线的方程．16.如图，在四棱锥㌳Ͳ中，㘠底面Ͳ，底面Ͳ为梯形，Ͳ，Ͳ㘠，且＝＝Ͳ＝，＝香．香Ⅰ若点为Ͳ上一点且Ͳ，证明：平面；Ⅱ求二面角㌳Ͳ㌳的大小．17.在平面直角坐标系系中，已知椭圆香的离心率为，点䁞香在椭圆上．试卷第2页，总7页,香求椭圆的方程；设直线与圆系相切，与椭圆相交于，两点，求证：系是定值．18.设、分别为椭圆香的左右顶点，设点为直线＝上不同于点䁞的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、．（1）判断与以为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明．（2）记直线＝与轴的交点为，在直线＝上，求点，使得＝．试卷第3页，总7页,参考答案与试题解析2019-2020学年北京市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题1.C2.D3.B4.C5.A6.D7.B8.A二、填空题9.10.㌳香香或11.䁞12.㌳㌳13.香＝香14.①③三、解答题15.由＝＝，根据椭圆的第一定义，可得的轨迹为以，为焦点的椭圆，且＝，即，＝香，㌳香，则动点的轨迹方程为＝香；将直线＝香代入椭圆方程＝，可得香＝，解得香＝，㌳，香香㌳可得䁞香，㌳䁞，香香香香㌳由题意可得㌳香，香香解得＝香，即有直线的方程为＝香．16.证明：Ⅰ过点作Ͳ，交于，连接，香香因为Ͳ，所以Ͳ＝．…．又Ͳ，Ͳ，所以．…．所以为平行四边形，所以．…．又平面，平面，…．（一个都没写的，则这不给）所以平面．…．（2）因为梯形Ͳ中，Ͳ，Ͳ㘠，所以㘠．因为㘠平面Ͳ，所以㘠，㘠，如图，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，…．试卷第4页，总7页,所以香䁞䁞，Ͳ䁞䁞，䁞䁞，䁞䁞．设平面Ͳ的一个法向量为䁞䁞，平面Ͳ的一个法向量为䁞䁞，因为Ͳ䁞䁞㌳，䁞䁞Ͳ㌳所以，…．取＝香得到香䁞㌳香䁞，…．同理可得䁞香䁞香，…．香所以cos䁞㌳，…．因为二面角㌳Ͳ㌳为锐角，所以二面角㌳Ͳ㌳为．…．香17.解：香由题得：，即，香则.再将点䁞香带入方程得香，解得，所以，则椭圆的方程为：香.①当直线斜率不存在时，则直线的方程为或㌳，当时，䁞，䁞㌳，此时系系，所以系㘠系，即系；当㌳时，同理可得，系.②当直线斜率存在时，设直线的方程为，即㌳.因为直线与圆相切，试卷第5页，总7页,所以，即，香㌳，联立香，整理得：香㌳，设香䁞香，䁞，㌳则有香㌳香，香香，所以系系香香香香香香香㌳香㌳.香香将代入上式，整理可得系系，所以系㘠系，即系.综上，系是定值．18.点在以为直径的圆内．证明如下：由已知可得㌳䁞，䁞．设䁞．∵点在椭圆上，∴㌳．①又点异于顶点、，∴㌳．由、、三点共线可得，㌳㌳即䁞．从而㌳䁞，䁞．∴㌳㌳．②将①代入②，化简得㌳．∵㌳，∴，于是为锐角，从而为钝角，故点在以为直径的圆内．可得㌳䁞，䁞．设䁞．䁞，由、、三点共线可以得，即．㌳㌳㌳又＝等价于＝．香香即＝＝香．㌳香∴香，∴，∴＝．试卷第6页，总7页,故点䁞试卷第7页，总7页
